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Multiperfetti (problemi sui numeri)

Problemi  Teoria dei numeri 

Si chiamano “multiperfetti” i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei propri divisori, includendo 1 e il numero stesso, vale a dire i numeri n per i quali σ(n) = kn. Se k = 2 abbiamo i numeri perfetti, se k = 3 i triperfetti o 3-perfetti ecc..

 

Vi sono numerosi problemi aperti sui numeri multiperfetti; in particolare le seguenti affermazioni, ritenute vere dagli esperti, sono ancora in attesa di dimostrazione:

  • non esistono numeri k-perfetti dispari maggiori di 1;

  • per ogni k fissato maggiore di 2 i numeri k-perfetti sono in numero finito;

  • i numeri multiperfetti sono infiniti;

  • per ogni potenza di primo pk esiste almeno un numero multiperfetto divisibile per pk, ma non per potenze maggiori di p;

  • tutti i numeri 4-perfetti sono multipli di 3;

  • tutti i numeri k-perfetti con k maggiore di 4 sono divisibili per il quadrato di un primo dispari.

 

Per quanto riguarda il problema dell’esistenza di numeri multiperfetti dispari, sono state stabilite varie condizioni che un eventuale numero del genere dovrebbe soddisfare, incluso l’essere maggiore di e350 ≈ 0.1007090887 • 10153 (Achim Flammenkamp, 2008) ed è stata esclusa l’esistenza di numeri multiperfetti dispari di varie forme, ma come per i numeri perfetti dispari non è ancora stata dimostrata l’impossibilità della loro esistenza.

Vedi anche

Numeri multiperfetti.

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