Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi supersingolari

Teoria dei numeri 

Vi sono due definizioni equivalenti dei primi supersingolari, che provengono dalla teoria dei gruppi o dalla teoria delle curve ellittiche, ma sono sfortunatamente estremamente tecniche.

Qui converrà semplicemente definirli come i primi che dividono il numero di elementi del gruppo detto “mostro”.

Sono solo 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 e 71.

 

I gruppi finiti semplici giocano nella teoria dei gruppi un ruolo analogo a quello dei numeri primi nella teoria dei numeri, nel senso che si può dimostrare che ogni gruppo finito è esprimibile come prodotto di alcuni di essi.

Esistono 18 famiglie infinite di gruppi semplici e 26 gruppi sporadici, riportati nella tabella seguente.

Nome

Numero di elementi

Scomposizione del numero di elementi

Gruppo di Mathieu M11 (1861)

7920

24 • 32 • 5 • 11

Gruppo di Mathieu M12 (1861)

95040

26 • 33 • 5 • 11

Gruppo di Janko J1 (1965)

175560

23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19

Gruppo di Mathieu M22 (1861)

443520

27 • 32 • 5 • 7 • 11

Gruppo di Janko J2(1965)

604800

27 • 33 • 52 • 7

Gruppo di Mathieu M23 (1861)

443520

27 • 32 • 5 • 7 • 11 • 23

Gruppo di Higman – Sims HS

44352000

29 • 32 • 53 • 7 • 11

Gruppo di Janko J3(1965)

50232960

27 • 35 • 5 • 17 • 19

Gruppo di Mathieu M24 (1861)

244823040

210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 23

Gruppo di McLaughlin McL

898128000

27 • 36 • 53 • 7 • 11

Gruppo di Held He

4030387200

210 • 33 • 52 • 73 • 17

Gruppo di Rudvalis Ru

145926144000

214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 29

Gruppo di Suzuki Suz

448345497600

213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 13

Gruppo di O’Nan O’N

460815505920

29 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 31

Gruppo di Conway Co3

495766656000

210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 23

Gruppo di Conway Co2

42305421312000

218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 23

Gruppo di Fisher Fi22

64561751654400

217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 13

Gruppo di Harada – Norton HN

273030912000000

214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 19

Gruppo di Lyons Ly

51765179004000000

28 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67

Gruppo di Thompson Th

90745943887872000

215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 31

Gruppo di Fisher Fi23

4089470473293004800

218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23

Gruppo di Conway Co1

4157776806543360000

221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23

Gruppo di Janko J4

86775571046077562880

221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43

Gruppo di Fisher Fi24

1255205709190661721292800

221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29

Gruppo baby mostro B

4154781481226426191177580544000000

241 • 313 • 56 • 72 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23 • 31 • 47

Gruppo mostro M (1980)

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71

 

La classificazione completa dei gruppi semplici sporadici ha occupato gli specialisti del settore per oltre un secolo: il cosiddetto “teorema enorme”, infatti, stabilisce che i gruppi semplici, ossia non esprimibili come prodotto di altri gruppi sono, oltre ai gruppi sporadici:

  • i gruppi ciclici Zp, di ordine p primo, corrispondenti alle operazioni sugli interi modulo p;

  • i gruppi alternati An, di ordine n almeno pari a 5, corrispondenti alle permutazioni di n interi, ottenibili con un numero pari di scambi;

  • quattro famiglie infinite equivalenti a quelle dei gruppi di Lie;

  • i gruppi di Chevalley PSL(n, q), PSU(n, q), PsP(2, n, q) e PΩε(n, q);

  • i gruppi di Chevalley D4(q), E6(q), E7(q), E8(q), F4(q), 2F4(2n), G2(q), 2G2(3n) e B(2n).

La dimostrazione, completata nel 1985, si trova sparpagliata nella letteratura specialistica e si valuta che occupi circa 15000 pagine. La parte più difficile da dimostrare è che i gruppi sporadici sono tutti e soli quelli elencati.

I gruppi di Mathieu furono da questi scoperti tra il 1861 e il 1873.

Il mostro fu costruito da Robert Griess nel 1982, come gruppo di rotazioni in uno spazio a 196883 dimensioni.

 

Al confronto, la classificazione dei gruppi di Lie si è rivelata più semplice: oltre a 4 famiglie infinite, vi sono 5 gruppi sporadici, indicati con G2, D4, E6, E7, ed E8, con dimensione rispettivamente 14, 52, 78, 133 e 248; la classificazione fu completata da E. Cartan nel 1894.

Vedi anche

Primi (numeri).

Bibliografia

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessit√†, Torino, Einaudi, 2000.
  • Ronan, Mark;  Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.