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Primi di Wilson

Teoria dei numeri 

Il teorema di Wilson afferma che (p – 1)! + 1 è divisibile per p se e solo se p è primo.

Ci si può chiedere se tale numero sia divisibile per potenze superiori di p: si chiamano “primi di Wilson” i numeri primi per i quali è divisibile per p2, cioè quelli per i quali il quoziente di Wilson è multiplo di p.

 

Non è difficile verificare che 5 e 13 sono primi di Wilson, ma la ricerca di altri primi del genere non è facile. Nel 1913 N.G.W.H. Beeger intraprese la prima ricerca sistematica, arrivando a 114 senza trovare altri primi di Wilson. Lo stesso Beeger dimostrò nel 1920 che (p – 1)! ≡ (–1)^((p – 1) / 2) * ((p – 1) / 2)!^2 * (2^p – 1) mod p^2 per p primo dispari e sfruttò questa identità per estendere la ricerca fino a 300. Data la complessità dei calcoli necessari, ricerche successive dovettero attendere lo sviluppo di calcolatori elettronici; solo nel 1953 Karl Goldberg scoprì il terzo, 563, e da allora non ne sono stati scoperti altri, nonostante le ricerche siano state estese sino a 2 • 1013.

 

Negli anni la ricerca fu estesa sia grazie ad algoritmi migliori, sia grazie all’aumento della potenza di calcolo a disposizione; la tabella seguente riporta le tappe principali.

Limite superiore per p

Autori

Anno

114

N.G.W.H. Beeger

1913

300

N.G.W.H. Beeger

1920

10000

Karl Goldberg

1953

30000

Carl-Erik Fröberg

1958

50000

Carl-Erik Fröberg

1963

200183

Erna H. Pearson

1964

1017000

K.E. Kloss

1965

3000000

Keller

 

4000000

Harvey Dubner

1989

10000000

Gonter e Esayas George Kundert

1990

18876041

Gonter e Esayas George Kundert

1990

5 • 108

R.E. Crandall, K. Dilcher e C. Pomerance

1997

109

Carlisle, R.E.Crandall e Rodenkirch

2006

6 • 109

Carlisle, R.E.Crandall e Rodenkirch

2008

2 • 1013

Edgar Costa, Robert Gerbicz e David Harvey

2012

 

L’opinione prevalente è che i primi di Wilson siano infiniti ma molto rari.

Potrebbero anche esistere primi p tali che (p – 1)! + 1 sia divisibile per potenze superiori di p, ma non se ne conosce nessuno.

 

Non si conosce alcun primo che sia contemporaneamente sia di Wilson, sia di Lerch.

Un primo p maggiore di 3 è contemporaneamente sia di Wilson, sia di Lerch se B2p – 2Bp – 1 mod p2 (John Blythe Dobson, 2015).

Un primo p maggiore di 3 è contemporaneamente sia di Wilson, sia di Lerch se B(3 * p – 3) – 1 + 1 / p ≡ 0 mod p^2 (John Blythe Dobson, 2015).

 

Definendo Formula per la definizione di q(p), dove wp è il quoziente di Wilson, Jonathan Sondow dimostrò nel 2011 che se p non è un primo di Wilson, q(p) è intero, non è mai primo e il massimo divisore comune di tutti i valori di q(p) è 24.

Se w(p)^(p – 1) ≡ 1 mod p^2, p è un primo di Wieferich generalizzato in base wp; oltre ai casi p = 2 e p = 3, per i quali la congruenza è soddisfatta perché q(p) = 0, l’unico caso noto è p = 14771, (q(14771) ha più di 800 milioni di cifre). Se ve ne sono altri, sono maggiori di 107 (Michael J. Mossinghoff).

 

Un’interessante generalizzazione del teorema di Wilson si deve a Gauss, anche se una prova completa arrivò con Minding, nel 1832: il prodotto degli interi minori di n e primi rispetto a n è congruente modulo n a –1, se n ha una radice primitiva, ossia se è 2, 4, una potenza di un primo dispari o il doppio di una potenza di un primo dispari, a 1 altrimenti. Ci si può chiedere se tale prodotto sia congruente a 1 o –1 per potenze superiori di n: si chiamano “numeri di Wilson” gli interi con tale proprietà, tra i quali naturalmente vi sono i primi di Wilson.

I numeri di Wilson noti sono: 1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 e nessun altro fino a 5 • 108 (Takashi Agoh, Karl Dilcher, Ladislav Skula, 1998).

I numeri di Wilson non sono multipli di quadrati.

Takashi Agoh, Karl Dilcher e Ladislav Skula dimostrarono nel 1998 che (nelle formule wp è il quoziente di Wilson e qp(n) il quoziente di Fermat):

  • se p è primo e pn è un numero di Wilson, lo sono anche tutti i numeri pm con 0 < m < n; non si conosce però alcun numero di Wilson che sia una potenza di un primo;

  • se p è della forma 8k + 1 o 8k + 3, 4p è un numero di Wilson se e solo se wpqp(2) mod p;

  • il doppio di un primo dispari o di una potenza di un primo dispari non è un numero di Wilson;

  • se p è un primo della forma 3k + 2, 9p può essere un primo di Wilson solo se p è della forma 54k + 35;

  • se p è un primo della forma 8k + 1 o 8k + 3, 4p è un numero di Wilson se e solo se qp(2) + wp è multiplo di p;

  • se p è un primo della forma 54k + 35, 9p è un numero di Wilson se e solo se qp(3) + 2wp è multiplo di p.

 

Il teorema di Wilson si può formulare anche affermando che (n – 1)!(pn)! ≡ (–1)n mod p se se e solo se p è primo. Tra le conseguenze, (p – 2)!!^2 ≡ (p – 1)!!^2 ≡ (–1)^((p + 1) / 2) mod p, se p è un primo dispari, .

Viene logico chiedersi se esistano primi p tali che (n – 1)!(pn)! ≡ (–1)n mod p2, detti “primi di Wilson di ordine n”.

Si ritiene che siano infiniti per ogni valore di n, ma se ne conoscono pochi e non se ne conosce nessuno per alcuni valori di n; in particolare quelli inferiori a 100 sono: 8, 12, 14, 22, 23, 25, 29, 38, 46, 48, 50, 52, 66, 77, 79, 82, 84, 87, 89, 91, 95, 96, 98, 99.

La tabella seguente riporta i primi di Wilson di ordine n noti, per n fino a 20 (Alexander Adamchuk, Max Alekseyev, M.F. Hasler, Pavlos Saridis, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Primi di Wilson di ordine n

Limite della ricerca

1

5, 13, 563

2 • 1013

2

2, 3, 11, 107, 4931

4 • 1011

3

7

100000

4

10429

100000

5

5, 7, 47

100000

6

11

100000

7

17

100000

8

-

1.4 • 107

9

541

100000

10

11, 1109

100000

11

17, 2713

100000

12

-

1.4 • 107

13

13

100000

14

-

100000

15

349

100000

16

31

100000

17

61, 251, 479

100000

18

13151527

13151527

19

71

100000

20

59, 499

100000

 

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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