Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Valore delle costanti di Mordell (problema del)

Geometria  Problemi 

Consideriamo gli iper-parallelepipedi a n dimensioni centrati sull’origine, delimitati da iperpiani perpendicolari tra loro e che non contengono alcun altro punto con coordinate intere. Il massimo volume ottenibile, uguale a 2n, si ha se gli iperpiani sono paralleli agli assi, mentre inclinando gli iperpiani, ma sempre mantenendoli perpendicolari tra loro, il volume si riduce.

Tra i vari iper-parallelepipedi massimi, aventi 2n punti con coordinate intere sulla superficie, ne esiste uno di volume minimo; si chiama “costante di Mordell” κn il suo volume, diviso per quello di volume massimo, ossia per 2n.

 

In due dimensioni G. Szekeres provò nel 1937 che il minimo si ottiene se le inclinazioni delle rette sono φ e 1 – φ e che in tal caso il parallelogramma, mostrato nella figura seguente, è un quadrato di area 2 + sqrt(5) / 5.

 

Parallelogramma di minima area massima

 

Pertanto Formula per la costante di Mordell κ(2), mentre il valore delle successive costanti non è noto con esattezza, però sappiamo che Limite inferiore per il valore della costante di Mordell κ(3)Limite inferiore per il valore della costante di Mordell κ(4) e per n abbastanza grande Limiti inferiore e superiore per il valore della costante di Mordell κ(n).

Vedi anche

Costanti di Mordell.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.