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Primi primoriali

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi primoriali” i numeri primi della forma n# ± 1.

 

I primi della forma p# + 1 minori di 10100 sono:

2 = 2# + 1,

6 = 3# + 1,

30 = 5# + 1,

210 = 7# + 1,

2310 = 11# + 1,

200560490130 = 31# + 1.

 

I primi della forma p# – 1 minori di 10100 sono:

6 = 3# – 1,

30 = 5# – 1,

2310 = 11# – 1,

30030 = 13# – 1,

304250263527210 = 41# – 1,

23768741896345550770650537601358310 = 89# – 1.

 

Quelli noti sono relativamente pochi:

  • p# + 1 è primo per p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657 (Penk, Buhler e Crandall, 1981), 3229 (Dubner, 1984), 4547 (Dubner, 1984), 4787 (Dubner, 1984), 11549 (Dubner, 1986), 13649 (Dubner, 1987), 18523 (Dubner, 1989), 23801 (C.K. Caldwell, 1993), 24029 (Caldwell, 1993), 42209 (Caldwell, 1999), 145823 (Anderson e Robinson, 2000, 63142 cifre), 366439 (Heuer, 2001, 158936 cifre) e 392113 (Heuer, 2001, 16966 cifre); da notare la coppia di primi gemelli 1019 e 1021;

  • p# – 1 è primo per p = 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377 (Dubner 1992), 4093 (Dubner e Caldwell, 1992), 4297 (Dubner 1992), 4583 (Dubner, 1992), 6569 (Dubner, 1992), 13033 (Dubner e Caldwell, 1992), 15877 (Dubner e Caldwell, 1992, 6485 cifre), 843301 (PrimeGrid, 2010, 365851 cifre), 1098133 (PrimeGrid, 2012, 476311 cifre) e nessun altro minore di 700000.

 

Non è stato dimostrato che i primi di queste due categorie siano infiniti, ma, a differenza dei fattoriali, neppure che esistano infiniti valori di n per i quali n# – 1 o n# + 1 siano composti, né che per qualsiasi numero razionale r, esistano infiniti valori di n per i quali rn# + 1 sia composto.

 

I primi primoriali sono anche chiamati “primi di Euclide”, perché utilizzati nella dimostrazione di Euclide che i numeri primi sono infiniti, basata sul fatto che p# + 1 ha solo fattori primi maggiori di p.

L’idea di Euclide si può estendere, dimostrando che un numero della forma n + m, con n e m primi tra loro, contiene solo fattori primi diversi da quelli di n e m e se n e m contengono tra loro tutti i primi sino a p, n + m è primo o contiene fattori primi maggiori di p; inoltre se n + m < p2n + m è sicuramente primo. Per esempio, 2 • 5 • 7 + 3 • 11 = 103 < 112 è primo.

 

Due sequenze analoghe si ottengono iniziando con 2, moltiplicando tra loro tutti i numeri precedenti, sommando uno e aggiungendo alla sequenza il minimo o il massimo fattore primo del risultato. Le sequenze sono anche note come “sequenze di Euclide – Mullin”, perché studiate da Albert A. Mullin nel 1963.

Se si somma il minimo fattore abbiamo:

  • 2 + 1 = 3, che fa aggiungere 3;

  • 2 • 3 + 1 = 7, che fa aggiungere 7;

  • 2 • 3 • 7 + 1 = 43, che fa aggiungere 43;

  • 2 • 3 • 7 • 43 + 1 = 1807, che fa aggiungere 13, minimo fattore primo di 1807.

La sequenza risultante è alquanto irregolare: 2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139703, 457, 9649, 61, 4357, 87991098722552272708281251793312351581099392851768893748012603709343, 107, 127, 3313, 227432689108589532754984915075774848386671439568260420754414940780761245893, 59, 31, 211 (Ryan Propper e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

La difficoltà nel procedere oltre sta nello scomporre numeri che diventano rapidamente enormi: il prodotto dei primi 42 termini ha già 180 cifre, il prodotto dei termini mostrati ne ha 335.

Si suppone che la sequenza contenga tutti i primi, ma non è stato dimostrato; per ora il minimo primo mancante all’appello è 31.

Se invece che da 2 si inizia da 3, 7 o 43, la sequenza resta inalterata dal quinto termine, quindi il numero iniziale sembra influire poco sulle proprietà della sequenza e in particolare sui numeri primi contenuti.

 

Se si somma il massimo fattore abbiamo:

  • 2 + 1 = 3, che fa aggiungere 3;

  • 2 • 3 + 1 = 7, che fa aggiungere 7;

  • 2 • 3 • 7 + 1 = 43, che fa aggiungere 43;

  • 2 • 3 • 7 • 43 + 1 = 1807, che fa aggiungere 139, massimo fattore primo di 1807.

La sequenza risultante, detta “seconda sequenza di Euclide – Mullin”, è: 2, 3, 7, 43, 139, 50207, 340999, 2365347734339, 4680225641471129, 1368845206580129, 889340324577880670089824574922371, 2076614244095979931282787319003378461098495726705121839404072 (Andrew R. Booker e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

C.D. Cox e A.J. van der Poorten dimostrarono che i primi minori di 53 e diversi da 2, 3, 7 e 43 non compaiono mai nella sequenza e avanzarono l’ipotesi i primi che non compaiono siano infiniti; Andrei R. Booker dimostrò nel 2012 che sono effettivamente infiniti.

 

Se invece di sommare 1 si sottrae 1 ai prodotti e s’inizia da 3, si ottengono in modo analogo altre due sequenze:

  • se si prende il minimo fattore primo abbiamo: 3, 2, 5, 29, 11, 7, 13, 37, 32222189, 131, 136013303998782209, 31, 197, 19, 157, 17, 8609, 1831129, 35977, 508326079288931, 487, 10253, 1390043, 18122659735201507243, 25319167, 9512386441, 85577, 1031, 3650460767, 107, 41, 811, 15787, 89, 68168743, 4583, 239, 1283, 443, 902404933, 64775657, 2753, 23, 149287, 149749, 7895159, 79, 43, 1409, 184274081, 47, 569, 63843643, 111973205287, 5848922101627729, 751, 192171541, 15551, 413689, 9400387, 67 (Sean A. Irvine e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org);

  • se si prende il massimo fattore primo abbiamo: 3, 2, 5, 29, 79, 68729, 3739, 6221191, 157170297801581, 70724343608203457341903, 46316297682014731387158877659877, 78592684042614093322289223662773, 181891012640244955605725966274974474087, 547275580337664165337990140111772164867508038795347198579326533639132704344301831464707648235639448747816483406685904347568344407941 (Joe K. Crump e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Andrei R. Booker dimostrò nel 2012 che anche in questo caso esistono infiniti primi che non fanno parte della seconda sequenza.

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