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Primi di Erdös

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi di Erdös” i numeri primi p tali che per tutti i valori di n! < p, pn! sia composto. Per esempio, 101 – 1! = 100, 101 – 2! = 99, 101 – 3! = 95, 101 – 4! = 77 e tutte le differenze sono numeri composti.

 

Il nome si deve a un quesito del grande matematico, che chiese se i primi di tal genere siano infiniti o meno. Il quesito resta senza risposta, ma la loro relativa abbondanza fa pensare che siano infiniti.

 

I primi di Erdös minori di 10000 sono: 101, 211, 367, 409, 419, 461, 557, 673, 709, 769, 937, 967, 1009, 1201, 1259, 1709, 1831, 1889, 2141, 2221, 2309, 2351, 2411, 2437, 2539, 2647, 2837, 2879, 3011, 3019, 3041, 3049, 3079, 3163, 3217, 3221, 3359, 3389, 3499, 3593, 3671, 3709, 3833, 3851, 3863, 3989, 4229, 4271, 4441, 4451, 4691, 4751, 4787, 4861, 4889, 4987, 5021, 5209, 5573, 5669, 5737, 5843, 5939, 6121, 6229, 6791, 6959, 7187, 7207, 7369, 7559, 7621, 7639, 7757, 7867, 8263, 8273, 8521, 8609, 8681, 8689, 8707, 8849, 8933, 8999, 9103, 9137, 9203, 9239, 9371, 9391, 9803, 9851, 9967.

Se nella definizione sostituiamo “composto” con “non primo”, possiamo aggiungere 2 all’elenco, perché 2 – 1! = 1 non è composto, ma neppure primo.

Qui trovate i primi di Erdös fino a 108 (6.1Mbyte) (M. Fiorentini, 2016).

 

Se nella definizione sostituiamo “composto” con “primo”, aggiungendo la condizione n > 1, abbiamo un’altra categoria di numeri, al momento priva di nome: i primi p tali che per tutti i valori di 1 < n! < p, pn! sia primo. Per esempio, 43 – 2! = 41, 43 – 3! = 37, 43 – 4! = 17 e tutte le differenze sono numeri primi.

Se nella definizione sostituiamo “primo” con “non composto”, possiamo aggiungere 3 e 7 all’elenco, perché 3 – 2! = 7 – 3! = 1 non è primo, ma neppure composto.

Dato che in particolare per un primo p di questa categoria p – 2! = p – 2 dev’essere primo, questi primi sono un sottoinsieme dei primi gemelli (più esattamente, dei maggiori di ogni coppia di primi gemelli).

I primi di questa categoria sembrano piuttosto rari e potrebbero anche essere in numero finito; quelli inferiori a 109 sono: 2, 5, 13, 19, 43, 103, 2713, 5233, 37363, 276043, 277603, 35088793.

Vedi anche

Primi (numeri).

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