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Baker (costante di)

Teoria dei numeri 

Presi quattro interi a, b, c e d, anche negativi, ma non nulli, tali che tre di essi non abbiano un divisore comune e che a + b + cd sia pari, vari matematici hanno studiato le proprietà delle soluzioni dell’equazione ap + bq + cr = d, con p, q e r primi.

Se a, b e c non hanno tutti lo stesso segno, esiste una soluzione che soddisfa max(p, q, r) ≤ 3d + max(3, |a|, |b|, |c|)B, e il minimo valore possibile per B è detto “costante di Baker”, dal nome del matematico che ne dimostrò l’esistenza nel 1967.

 

Il suo valore non può essere inferiore a quello della costante di Linnik, ma come per quest’ultima sappiamo che esiste, non lo conosciamo, nè, almeno per ora, disponiamo di alcun metodo per determinarlo.

 

Nel 1988 M.C. Liu e K.M. Tsang dimostrarono che se a, b e c sono positivi, esiste una costante V tale che l’equazione ha sempre una soluzione se d ≥ max(3, |a|, |b|, |c|)V. Il valore della costante V non può essere inferiore a quello della costante di Linnik più uno.

 

Prendendo a = b = c = 1, la dimostrazione ci dice che ogni numero naturale dispari abbastanza grande (in particolare, almeno pari a 3V) può essere espresso come somma di 3 primi. La costante V viene quindi chiamata “costante di Vinogradov”, perché legata al numero di Vinogradov.

Se si riuscisse a ridurre il valore massimo di V si potrebbe pensare di enumerare le eventuali eccezioni, dimostrando una versione debole della congettura di Goldbach.

 

Kwok-Kwong Stephen Choi portò il limite superiore per B a 45 e quello per V a 4191.

 

Choi, Liu e Tsang dimostrarono nel 1992 che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann generalizzata, il limite superiore per B si riduce a 4 e quello per V a 5 e proposero la congettura che B possa essere addirittura 1 e V 2, valori che implicherebbero che la costante di Linnik è 1.

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