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Debolmente primi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “numeri debolmente primi” o “primi deboli” i numeri primi, tali che cambiando una qualsiasi cifra in tutti i modi possibili si ottengano sempre numeri composti.

 

La definizione è generalmente applicata in base 10, ma si può estendere a qualsiasi base. In base b vi sono n(b – 1) modi di cambiare le cifre di un primo di n cifre, che si riducono a (n – 1)(b – 1) + b – 2, se non si considera cambiamento valido sostituire la prima cfra con zero.

 

Nel 1975 P. Orno, J. Propp, A. Wayne, J. Phipps McGrath, L. Gerber, H. Eves, M. S. Klamkin, P. Erdos, H. Kestelman, Z. Motteler, M. Sholander, R. Beigel e S. J. Benkoski dimostrarono che i numeri debolmente primi sono infiniti.

 

F. Cohen e J.L Selfridge dimostrarono nel 1975 che esiste una progressione aritmetica di numeri naturali n, tali che che |n ± 2m| è composto per qualsiasi valore di m e Zhi-Wei Sun dimostrò nel 2000 che questo vale per tutti gli interi della forma 66483034025018711639862527490k + 47867742232066880047611079. Dato che ogni progressione di numeri naturali della forma ak + b, con a e b primi tra loro contiene infiniti primi, (teorema di Dirichlet), queste dimostrazioni assicurano l’esistenza di infiniti numeri debolmente primi in base 2 (v. anche numeri di de Polignac).

 

Terence Tao dimostrò nel 2008 che in qualsiasi base i numeri debolmente primi hanno una densità maggiore di zero tra i primi e questo implica l’esistenza di progressioni aritmetiche di lunghezza arbitraria di primi del genere, oltre all’esistenza di infiniti numeri debolmente primi in ogni base.

Più precisamente Tao dimostrò che fissato un intero r, i primi p compresi tra ss * (1 + 1 / r) e tali che |np ± mbk| sia composto per n e m non superiori a r e k non maggiore di rlogs, per s abbastanza grande sono almeno c * r / log(r), per una costante c che dipende solo da r. Il requisito è molto più forte di quanto richiesto per dichiarare debolmente primo p, perché richiede che siano composte anche molte somme che non costituiscono un semplice cambio di una cifra. Tao dimostrò che la dimostrazione resta valida anche se si sostituisce al requisito che i numeri |np ± mbk| siano composti quello più forte che abbiano almeno due fattori primi distinti; in seguito H. Pan aumentò il numero di fattori distinti a log(log(s))^(1 / 3 – ε), per qualsiasi valore positivo di ε.

In particolare dal teorema di Tao segue che esistono infiniti primi p tali che p ± 2n sia composto, per tutti i valori di n tali che p > 2n.

I primi di questo genere minori di 105 sono: 1973, 3181, 3967, 4889, 8363, 8923, 11437, 12517, 14489, 19583, 19819, 21683, 21701, 21893, 22147, 22817, 24943, 27197, 27437, 28057, 29101, 34171, 34537, 34919, 35201, 35437, 36151, 38873, 41947, 42169, 42533, 42943, 43103, 43759, 44729, 46147, 47857, 48023, 48073, 48383, 50207, 50311, 50767, 50839, 51817, 52783, 53813, 54959, 55103, 55763, 57829, 57991, 59063, 59809, 60331, 62213, 62743, 62791, 63367, 66683, 67043, 67607, 71861, 73237, 74363, 74561, 76283, 76631, 76943, 77893, 79867, 80369, 80923, 82387, 83437, 84533, 85793, 86441, 89113, 90149, 93103, 94427, 94603, 95213, 98179.

Qui trovate i primi p minori di 109 tali che p ± 2n sia composto, per tutti i valori di n tali che p > 2n (8.6 Mbyte) (M. Fiorentini, 2016).

 

Non è detto che siano infiniti i primi che diventano composti per ogni modifica di due cifre qualsiasi.

 

La tabella seguente riporta i numeri debolmente primi fino a 10000 nelle basi fino a 20.

Base

Numeri debolmente primi

2

11111112 = 127, 101011012 = 173, 101111112 = 191, 110111112 = 223, 111010012 = 233, 111011112 = 239, 111110112 = 251, 1000000012 = 257, 1000101012 = 277, 1010100012 = 337, 1010111012 = 349, 1011101012 = 373, 1101011112 = 431, 1101110112 = 443, 1111010112 = 491, 1111111012 = 509, 10001011012 = 557, 10100011012 = 653, 10101010112 = 683, 10101111012 = 701, 10110111012 = 733, 10111110012 = 761, 11000100112 = 787, 11010101012 = 853, 11011011012 = 877, 11111110112 = 1019, 100101010012 = 1193, 100101100012 = 1201, 100111010112 = 1259, 101011001012 = 1381, 101101010112 = 1451, 101101011012 = 1453, 110000100012 = 1553, 110001111012 = 1597, 110101011012 = 1709, 110110110012 = 1753, 110110111112 = 1759, 110111100012 = 1777, 111101101012 = 1973, 111111010112 = 2027, 1000000011112 = 2063, 1001000111012 = 2333, 1001010000112 = 2371, 1001100011112 = 2447, 1010010010012 = 2633, 1011001111112 = 2879, 1011011001012 = 2917, 1011101101112 = 2999, 1100000010112 = 3083, 1100011011012 = 3181, 1100100010012 = 3209, 1100111100012 = 3313, 1101101101112 = 3511, 1110000010012 = 3593, 1110001110112 = 3643, 1110101101112 = 3767, 1110110000112 = 3779, 1111000010112 = 3851, 1111001001012 = 3877, 1111001100012 = 3889, 1111011111112 = 3967, 1111101011012 = 4013, 10000010100012 = 4177, 10000101110112 = 4283, 10001010110012 = 4441, 10001011000112 = 4451, 10001110100012 = 4561, 10001111101012 = 4597, 10001111110112 = 4603, 10010010001112 = 4679, 10010110011012 = 4813, 10011000110012 = 4889, 10011010101112 = 4951, 10011101110112 = 5051, 10011111010112 = 5099, 10100010110012 = 5209, 10100110010112 = 5323, 10101101101012 = 5557, 10110101010012 = 5801, 10110111010112 = 5867, 10111011101112 = 6007, 10111101110012 = 6073, 11000000001112 = 6151, 11000001110112 = 6203, 11000010000112 = 6211, 11000100011112 = 6287, 11000101100112 = 6323, 11000111010112 = 6379, 11001010100012 = 6481, 11001011110012 = 6521, 11011001110112 = 6971, 11011010000012 = 6977, 11011010101012 = 6997, 11011011100112 = 7027, 11011011111112 = 7039, 11011100000112 = 7043, 11011101111112 = 7103, 11011110001012 = 7109, 11011111011112 = 7151, 11100001001112 = 7207, 11100100000012 = 7297, 11100100010112 = 7307, 11100101000112 = 7331, 11100110010012 = 7369, 11101010100112 = 7507, 11101100101012 = 7573, 11101100111112 = 7583, 11110101000012 = 7841, 11110110010112 = 7883, 11111010100012 = 8017, 11111100101112 = 8087, 11111101011112 = 8111, 11111111010112 = 8171, 100000001001112 = 8231, 100000001100112 = 8243, 100000011101112 = 8311, 100000101010112 = 8363, 100001101100112 = 8627, 100010001010112 = 8747, 100010011111112 = 8831, 100010100100012 = 8849, 100010101000112 = 8867, 100010110110112 = 8923, 100011101100012 = 9137, 100011101111112 = 9151, 100011110010012 = 9161, 100100011001112 = 9319, 100100011010112 = 9323, 100101111000012 = 9697, 100110001001112 = 9767

3

213 = 7, 1113 = 13, 2013 = 19, 10113 = 31, 11123 = 41, 121123 = 149, 222123 = 239, 1011113 = 283, 1012123 = 293, 1101113 = 337, 1111213 = 367, 1112113 = 373, 1121023 = 389, 1201213 = 421, 2100113 = 571, 2111113 = 607, 2211213 = 691, 10001013 = 739, 10010123 = 761, 10011113 = 769, 10111213 = 853, 10112113 = 859, 10201213 = 907, 10202023 = 911, 10211023 = 929, 11001023 = 983, 11011123 = 1013, 11012113 = 1021, 11100223 = 1061, 11110213 = 1087, 11111113 = 1093, 11112123 = 1103, 11120023 = 1109, 11122113 = 1129, 11201223 = 1151, 12001213 = 1231, 12010213 = 1249, 12021013 = 1279, 12110113 = 1327, 12221213 = 1447, 20002213 = 1483, 20021023 = 1523, 20101013 = 1549, 20111113 = 1579, 21010123 = 1733, 21100123 = 1787, 21111123 = 1823, 21122213 = 1861, 21212123 = 1913, 22011213 = 1987, 22012113 = 1993, 22021113 = 2011, 22210113 = 2137, 100100123 = 2273, 100110023 = 2297, 101000213 = 2437, 101022013 = 2503, 101101013 = 2521, 101111113 = 2551, 101121123 = 2579, 101221113 = 2659, 102011023 = 2711, 102011113 = 2713, 102102123 = 2777, 102110223 = 2789, 102212213 = 2887, 110002123 = 2939, 110011013 = 2953, 110100023 = 2999, 110101123 = 3011, 110102223 = 3023, 110111113 = 3037, 110112213 = 3049, 110210113 = 3109, 111010013 = 3187, 111011223 = 3203, 111110113 = 3271, 111120123 = 3299, 111211023 = 3359, 111211113 = 3361, 111212213 = 3373, 111221123 = 3389, 112010113 = 3433, 112100223 = 3491, 112101213 = 3499, 112112123 = 3533, 112200213 = 3571, 112201223 = 3581, 112210023 = 3593, 112212113 = 3613, 112212223 = 3617, 120010123 = 3677, 121010113 = 3919, 121020123 = 3947, 121120113 = 4027, 121212113 = 4099, 122002113 = 4153, 122102013 = 4231, 122200113 = 4297, 122210213 = 4327, 200111023 = 4493, 200121013 = 4519, 200202213 = 4561, 201010123 = 4649, 201110113 = 4729, 201200223 = 4787, 202211013 = 5059, 202221023 = 5087, 210022113 = 5179, 210100123 = 5189, 210102213 = 5209, 210200223 = 5273, 210220113 = 5323, 211000013 = 5347, 211021223 = 5417, 211101123 = 5441, 211112213 = 5479, 211201113 = 5521, 211202123 = 5531, 211212113 = 5557, 212020113 = 5647, 212111123 = 5711, 212210013 = 5779, 212211113 = 5791, 220011013 = 5869, 220220123 = 6053, 221001213 = 6091, 221011023 = 6113, 221101223 = 6173, 221111213 = 6199, 221112023 = 6203, 221211113 = 6277, 222102113 = 6421, 222112123 = 6449, 222221113 = 6547, 1000012013 = 6607, 1000102013 = 6661, 1000111013 = 6679, 1000221213 = 6793, 1001002123 = 6827, 1001011013 = 6841, 1001020123 = 6863, 1001110123 = 6917, 1001121013 = 6949, 1001122023 = 6959, 1001200013 = 6967, 1001210113 = 6997, 1001220213 = 7027, 1001222013 = 7039, 1002121023 = 7193, 1002122213 = 7207, 1010002013 = 7309, 1010010113 = 7321, 1010011213 = 7333, 1010020123 = 7349, 1010111113 = 7411, 1010112013 = 7417, 1011001123 = 7547, 1011011113 = 7573, 1011011223 = 7577, 1011012123 = 7583, 1011121113 = 7681, 1011221013 = 7759, 1012021023 = 7841, 1012111223 = 7901, 1020021213 = 8089, 1020100013 = 8101, 1021101013 = 8353, 1021110213 = 8377, 1021111223 = 8387, 1021202013 = 8443, 1022000223 = 8513, 1022001213 = 8521, 1022201123 = 8681, 1100010223 = 8783, 1100021223 = 8819, 1100110123 = 8861, 1100111023 = 8867, 1100120113 = 8887, 1100202013 = 8929, 1100212223 = 8963, 1101102013 = 9091, 1101110113 = 9103, 1101121023 = 9137, 1101200113 = 9157, 1102012113 = 9283, 1102221113 = 9463, 1110001123 = 9491, 1110010213 = 9511, 1110021213 = 9547, 1110110023 = 9587, 1110111213 = 9601, 1110201013 = 9649, 1110211113 = 9679, 1110212123 = 9689, 1110222223 = 9719, 1111002123 = 9743, 1111020213 = 9781, 1111021223 = 9791, 1111110013 = 9829, 1111111023 = 9839, 1111120113 = 9859, 1111211123 = 9923, 1112000113 = 9967, 1112001013 = 9973

4

113114 = 373, 2101314 = 2333, 2312114 = 2917, 2323134 = 2999, 3230034 = 3779, 12010034 = 6211, 12023034 = 6323, 12032234 = 6379, 12320034 = 7043, 13121334 = 7583, 13321134 = 8087, 20022234 = 8363, 21132014 = 9697

5

3135 = 83, 14135 = 233, 21025 = 277, 30425 = 397, 34225 = 487, 40145 = 509, 43335 = 593, 100425 = 647, 104245 = 739, 121125 = 907, 121345 = 919, 130415 = 1021, 134325 = 1117, 142335 = 1193, 202345 = 1319, 220215 = 1511, 220435 = 1523, 221445 = 1549, 223045 = 1579, 224235 = 1613, 231235 = 1663, 243115 = 1831, 301125 = 1907, 301235 = 1913, 312345 = 2069, 323125 = 2207, 330435 = 2273, 331335 = 2293, 332145 = 2309, 334125 = 2357, 342315 = 2441, 343145 = 2459, 411415 = 2671, 420325 = 2767, 422345 = 2819, 442325 = 3067, 1003035 = 3203, 1003415 = 3221, 1012345 = 3319, 1013045 = 3329, 1022135 = 3433, 1032415 = 3571, 1044135 = 3733, 1044245 = 3739, 1101045 = 3779, 1101335 = 3793, 1103135 = 3833, 1111215 = 3911, 1111435 = 3923, 1121025 = 4027, 1124215 = 4111, 1130135 = 4133, 1131035 = 4153, 1140145 = 4259, 1141135 = 4283, 1203235 = 4463, 1212215 = 4561, 1213135 = 4583, 1213315 = 4591, 1220335 = 4643, 1221015 = 4651, 1230145 = 4759, 1232235 = 4813, 1240025 = 4877, 1241035 = 4903, 1244445 = 4999, 1301245 = 5039, 1303445 = 5099, 1304125 = 5107, 1311035 = 5153, 1311415 = 5171, 1313145 = 5209, 1321045 = 5279, 1323135 = 5333, 1331235 = 5413, 1333415 = 5471, 1404445 = 5749, 1411135 = 5783, 1413025 = 5827, 1420045 = 5879, 1422025 = 5927, 1430125 = 6007, 1433315 = 6091, 2003335 = 6343, 2012025 = 6427, 2021425 = 6547, 2043135 = 6833, 2111025 = 7027, 2111245 = 7039, 2114415 = 7121, 2121015 = 7151, 2121145 = 7159, 2130035 = 7253, 2131425 = 7297, 2132415 = 7321, 2134015 = 7351, 2140335 = 7393, 2142135 = 7433, 2203135 = 7583, 2204415 = 7621, 2214025 = 7727, 2233235 = 7963, 2302315 = 8191, 2312325 = 8317, 2321435 = 8423, 2322425 = 8447, 2334145 = 8609, 2402415 = 8821, 2403115 = 8831, 2412045 = 8929, 2432115 = 9181, 2434245 = 9239, 2434315 = 9241, 3001415 = 9421, 3011135 = 9533, 3011425 = 9547, 3020115 = 9631, 3023415 = 9721, 3031225 = 9787, 3032035 = 9803, 3032215 = 9811, 3040135 = 9883, 3041125 = 9907

6

-

7

4367 = 223, 11237 = 409, 13017 = 491, 14667 = 587, 20217 = 701, 30317 = 1051, 32517 = 1163, 34157 = 1237, 36537 = 1361, 45267 = 1637, 50357 = 1741, 52137 = 1823, 54317 = 1933, 113247 = 2909, 114167 = 2953, 130367 = 3457, 131447 = 3511, 140427 = 3803, 143657 = 3967, 144537 = 4007, 152547 = 4253, 156437 = 4441, 161057 = 4513, 164027 = 4657, 212247 = 5261, 212427 = 5273, 213147 = 5303, 215657 = 5437, 221517 = 5573, 221627 = 5581, 224237 = 5701, 231237 = 5897, 231327 = 5903, 235527 = 6113, 241337 = 6247, 244257 = 6389, 246167 = 6481, 251147 = 6577, 254337 = 6737, 261027 = 6911, 263517 = 7043, 300047 = 7207, 304247 = 7417, 314147 = 7753, 315027 = 7793, 315447 = 7823, 315537 = 7829, 316457 = 7873, 320247 = 7907, 332327 = 8353, 336237 = 8543, 341327 = 8647, 346247 = 8887, 353537 = 9103, 356127 = 9221, 362537 = 9397, 362627 = 9403, 364137 = 9467, 364557 = 9497, 400637 = 9649

8

141038 = 6211

9

37389 = 2789, 54649 = 4027, 87249 = 6421, 132589 = 8963

10

-

11

257311 = 3347, 290A11 = 3761, 450A11 = 5939, 496211 = 6481, 66A911 = 8831, 6A5611 = 9257, 736311 = 9749

12

-

13

221613 = 4751

14

-

15

-

16

-

17

-

18

-

19

-

20

-

 

In base 10 i numeri debolmente primi minori di 107 sono: 294001, 505447, 584141, 604171, 971767, 1062599, 1282529, 1524181, 2017963, 2474431, 2690201, 3085553, 3326489, 4393139, 5152507, 5564453, 5575259, 6173731, 6191371, 6236179, 6463267, 6712591, 7204777, 7469789, 7469797, 7858771, 7982543, 8090057, 8353427, 8532761, 8639089, 9016079, 9537371, 9608189, 9931447.

Qui trovate i numeri debolmente primi in base 10 minori di 109 (M. Fiorentini, 2016).

 

Il massimo numero debolmente primo noto in base 10 è (17 * 10^1000 – 1) / 99 + 21686652, 1000 cifre (Jens Kruse Andersen, 2007).

 

La tabella seguente riporta i minimi numeri debolmente primi nelle basi fino a 23 (T.D. Noe e Terentyev Oleg, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Base

Minimo intero

2

11111112 = 127

3

1113 = 13

4

113114 = 373

5

3135 = 83

6

3341556 = 28151

7

4367 = 223

8

141038 = 6211

9

37389 = 2789

10

294001

11

257311 = 3347

12

6B8AB7712 = 20837899

13

221613 = 4751

14

C371CD14 = 6588721

15

9880E15 = 484439

16

D2A4516 = 862789

17

226717 = 10513

18

3723DE9118 = 2078920243

19

1B4319 = 10909

20

2CIF5C920 = 169402249

21

EAHFB21 = 2823167

22

27LD61322 = 267895961

23

3ED323 = 68543

 

Se si modifica la definizione, chiamando debolmente primo un primo tale che cambiando una qualsiasi cifra si ottengano numeri non primi, il minimo primo debole in base 2 diviene 112 = 3, perché cambiando la prima cifra in zero si ottiene 1, che non è primo (ma neppure composto) e in base 3 diviene 23 = 2.

Vedi anche

Primi (numeri).

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