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Valore della costante di Masser – Gramain (problema del)

Analisi  Problemi 

Data una funzione f analitica in tutti i punti finiti del piano complesso, che assuma valori che sono interi di Gauss per gli argomenti uguali a interi di Gauss del piano complesso, quali condizioni aggiuntive servono per poter stabilire che è un polinomio?

 

S. Fukasawa dimostrò nel 1926 che esiste una costante positiva α tale che perché f sia un polinomio basta che Condizione che deve essere verificata perché f sia un polinomio, dove Mr(f) è l’estremo superiore del modulo dei valori della funzione per argomenti (complessi) di valore assoluto non superiore a r. In altri termini, la funzione non deve crescere “troppo velocemente”.

 

Il problema di determinare il valore della costante resistette per oltre mezzo secolo. Il primo progresso arrivò nel 1980, quando D.W. Masser dimostrò che doveva essere non superiore a Valore massimo per α e almeno pari a Valore minimo per α, dove ω̃ è la costante della lemniscata, S è la costante di Sierpiňski e δ è la costante di Masser – Gramain, definita come Formula per la definizione di δ, dove rk è il raggio del più piccolo cerchio che contiene almeno k interi di Gauss distinti nel piano complesso.

 

Il calcolo di δ è estremamente difficile, perché non si conosce alcun’altra formula per calcolare la costante e utilizzare la sua definizione comporta il calcolo di rk per molti valori di k: bisognerebbe arrivare a 50000 miliardi per stimare δ con quattro cifre decimali di precisione.

 

Nel 1981 Gramain risolse infine il problema originale, dimostrando che Valore di δ, ma il problema del calcolo di δ con una buona precisione rimane aperto, anche se la costante ha perso parte della sua importanza.

 

F. Gramain e M. Weber nel 1987 calcolarono che δ è compresa tra 1.811447299 e 1.897327117.

Lo stesso Gramain ipotizzò che δ = 1 + S ≈ 1.8228252497, ma nel 2013 Guillaume Melquiond, W. Georg Nowak e Paul Zimmerman calcolarono che 1.819776 < δ < 1.819833, smentendo l’ipotesi.

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