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Primi concordanti

Teoria dei numeri 

Se tre interi a, b e n costituiscono soluzioni intere alle equazioni a2 + b2 = c2 e a2 + nb2 = d2, si dice che essi costituiscono una forma concordante.

Un primo p si dice concordante se esiste una forma concordante con n = p.

 

Il legame con i primi è legato alla ricerca, iniziata già da Eulero, di quelli rappresentabili come p = (x2 – 1)(y2 – 1), con x e y razionali. Infatti, se p = (c^2 / a^2 – 1) * (d^2 / b^2 – 1), con le frazioni ridotte ai minimi termini, (c2a2)(d2b2) = pa2b2 e dato che p deve dividere uno dei termini del prodotto e MCD(a, c) = MCD(b, d) = 1, c2a2 = pb2 e d2b2 = a2, ossia a2 + pb2 = c2 e a2 + b2 = d2.

 

Un primo non può essere concordante se diviso per 16 dà resto 3, 5, 9, 11, o 13 e tutti i divisori di p – 1 sono della forma 4k + 3 (Kevin Brown).

 

David Einstein and Allan MacLeod esaminarono i primi minori di 1000, trovando che 48 sono esclusi da questa regola, 104 sono concordanti e i rimanenti 16 non sono esclusi dalla regola, ma non si sa se siano concordanti, perché non sono state trovate soluzioni intere delle equazioni. I 16 casi ancora da risolvere sono: 103, 131, 191, 223, 271, 311, 431, 439, 443, 593, 607, 641, 743, 821, 929 e 971; per questi primi la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer suggerisce che probabilmente non sono concordanti, ma non se ne conosce ancora una dimostrazione.

L’ultimo caso risolto minore di 1000 fu 983, da Alan McLeod nel 1997.

 

La tabella seguente riporta i primi concordanti minori di 1000 e i corrispondenti valori di a, b, c e d.

p

a

b

c

d

7

3

4

5

11

11

35

12

37

53

17

4

3

5

13

23

1189

420

1261

2339

31

5

12

13

67

41

5

12

13

77

47

14663

111384

112345

763751

53

1141

13260

13309

96541

59

11

60

61

461

61

195

28

197

293

71

35

12

37

107

79

21

20

29

179

83

2873161

2401080

3744361

22062761

97

24

7

25

73

101

323

36

325

485

107

13

84

85

869

113

572

315

653

3397

127

63

16

65

191

137

7

24

25

281

149

11986259

6218940

13503541

76852309

151

45

28

53

347

157

187

84

205

1069

167

60563

361284

366325

4669211

179

5341439929

2001154320

5703998521

27301240121

181

2349

2860

3701

38549

193

552

385

673

5377

199

99

20

101

299

211

675

52

677

1013

227

3569689967

1940137056

4062858385

29448269969

233

2284309

1021020

2502109

15751709

239

551

240

601

3751

241

8

15

17

233

251

85

132

157

2093

257

84304

221697

237185

3555073

263

8910798368771

1887805093020

9108574841221

31885480234379

281

899

60

901

1349

293

520202488286519

5559730156897920

5584013793530569

95168672576443081

307

4623

136

4625

5201

313

8051

1260

8149

23701

331

1869

3740

4181

68069

337

84

13

85

253

347

133

156

205

2909

349

171

140

221

2621

353

211888

3255

211913

220537

359

139345191453016141

62756922858409500

152825108368141141

1197210901642108859

367

117

44

125

851

383

8256442177521922751

14346732578719484160

16552872050374036801

280892460925702353599

389

128537835329281

3307635422520

128580385608481

144145103883169

401

20

21

29

421

409

9

40

41

809

421

1581

4180

4469

85781

433

259908

3605

259933

270517

449

112

15

113

337

461

18829235

16579068

25087957

356465333

463

969

1120

1481

24119

467

184830374433260953513

70718468326022842416

197897370057103437865

1539375454638663022889

479

19541519

6956400

20742769

153497231

487

175553037

27162716

177642005

624606971

491

6878425885

1065075132

6960397093

24582428597

503

67551596524331

13300624990380

68848564386781

305854950320819

521

55

48

73

1097

523

159782863371

363015352700

396624141629

8303405751629

541

25320435

2488772

25442453

63182837

547

667

156

685

3709

563

789728011559

352963003200

865016308441

8412124148441

571

139629

37700

144629

911621

577

144

17

145

433

587

253

204

325

4949

599

14399

240

14401

15551

601

117

44

125

1085

613

259957551

72428200

269858801

1811982449

631

55

48

73

1207

647

19261

12180

22789

310411

661

2115

92

2117

3173

673

432

665

793

17257

677

3190933

14301756

14653405

372134269

691

32189475

6005692

32744933

161119157

701

139213

40716

145045

1086965

719

122685687347230092027787170359

16370855953338344410962017400

123773110183542077012218021609

455793065655439595847929218391

727

831003

414596

928685

11209571

733

2319746900982443579

10159594526654876940

10421064563212982221

275070366995663147821

739

4599

680

4649

19049

751

33

56

65

1535

761

416875

27132

417757

856733

769

706248

41615

707473

1352977

773

31987094905291464313441

128384839503548822883000

132309641579259496967809

3569611292050518022813441

809

91

60

109

1709

811

25447875

45437348

52078277

1294217813

823

152051

5460

152149

218299

839

1845576888225206401859

432201446454412826100

1895508412186113903109

12654238492558710986891

859

79211

49980

93661

1466989

863

21697973611729663760123617224693905231

140467357958644482600871394399613917520

142133320198809400413546628739892325681

4126547186042223095533703144321890003919

877

2076473

219336

2088025

6819289

881

220

21

221

661

887

35768550549811207268203479894517

34017263632576617093776622715644

49361558256224238859311012735805

1013751905954413126405365963117011

911

11

60

61

1811

919

16891

780

16909

29059

937

1147

204

1165

6349

941

904126795405

113721305628

911250677653

3603742642037

953

6606289

803400

6654961

25666289

967

483

44

485

1451

977

56

33

65

1033

983

25612319152259738402372448240896341241531

2927481175425024504484732240429126750140

25779081410897458274003248678322910413581

95291366042643863910618567222570345890819

991

91

60

109

1891

 

Vedi anche

Numeri primi.

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