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Vinogradov (numero di)

Teoria dei numeri 

Vinogradov dimostrò nel 1937 che ogni intero dispari abbastanza grande può essere espresso come somma di tre numeri primi. In suo onore si chiama “numero di Vinogradov” il massimo intero dispari non esprimibile come somma di tre primi.

 

La dimostrazione di Vinogradov sfortunatamente non indicava un limite superiore per il massimo numero dispari non esprimibile come somma di tre primi e per parecchi decenni si sapeva che questo numero doveva esistere, ma non si sapeva quale fosse, anche se tutti credevano che fosse 5, come indicato dalla forma debole della congettura di Goldbach.

 

Gli sforzi dei matematici si sono concentrati sul dimostrare che la proprietà vale per i numeri maggiori di un numero n, con n abbastanza basso da poter verificare tutti i numeri inferiori con l’aiuto dei calcolatori. Per il momento la verifica meccanica è stata possibile per tutti i numeri dispari fino a sino a 4 • 1017 (Oliveira e Silva, 2012).

 

Nel 1956 Borodzkin dimostrò che si poteva prendere 3315 = 314348907 ≈ 3.25 • 106864168 come limite e Chen e Wang ridussero nel 1989 il limite a ee11.503 ≈ 3.3334 • 1043000, quindi a 107194 e infine nel 2002 a 101346, numero ancora enormemente maggiore dei limiti raggiungibili con i calcolatori.

 

Supponendo vera una forma generalizzata dell’ipotesi di Riemann, sono stati ottenuti risultati migliori:

  • nel 1923 Hardy e Littlewood avevano dimostrato il teorema di Vinogradov;

  • nel 1926 B. Lucke dimostrò che il limite poteva essere ridotto a 1032;

  • nel 1996 Dmitrii Zinoviev ridusse il numero a 1020, aprendo la strada a una possibile verifica tramite calcolatori.

  • finalmente nel 1997 J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. Te Riele e D. Zinoviev combinarono il teorema di Zinoviev con una gran mole di calcoli, per dimostrare che il limite può essere ridotto a 5.

Queste dimostrazioni però dipendono da un’ipotesi che, sebbene creduta vera da tutti gli esperti, non è ancora stata dimostrata e questo faceva storcere il naso ai puristi.

 

Nel 2013 il matematico peruviano Harald Andrés Helfgott riuscì finalmente a dare una dimostrazione completa della forma debole della congettura di Goldbach e quindi a stabilire che il numero di Vinogradov è 5.

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