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Divisori primitivi tra i numeri di Lucas generalizzati (problema dei)

Problemi  Sequenze 

Le sequenze di Lucas generalizzate sono generalizzazioni delle sequenze di Fibonacci e di Lucas.

Scelti due interi P e Q non nulli e primi tra loro, si definisce la sequenza di Lucas come U0(P, Q) = 0, U1(P, Q) = 1, Un + 1(P, Q) = PUn(P, Q) – QUn – 1(P, Q) e la sequenza associata come V0(P, Q) = 2, V1(P, Q) = P, Vn + 1(P, Q) = PVn(P, Q) – QVn – 1(P, Q).

 

Definendo D = P2 – 4Q, la sequenza di Lucas si può ottenere come Formula per il calcolo dei numeri di una sequenza di Lucas e la sequenza associata come Vn(P, Q) = αn + βn, dove Formula per il calcolo di α e Formula per il calcolo di β.

 

Si dice che un numero di Lucas generalizzato Un ha un divisore primitivo se è divisibile per un numero primo che non divide alcun altro Uk con 0 < k < n e (α – β)2D.

 

Le sequenze di Lucas generalizzate sono legate ai numeri di Lehmer (I), perché se Ln è il termine n-esimo della sequenza di Lehmer generata dagli stessi valori di α e β, un primo p è un divisore primitivo di Ln se e solo se è divisore primitivo di Un.

Il problema di determinare quali numeri di Lucas generalizzati abbiano divisori primitivi ha richiesto un secolo per una soluzione completa, come parte della soluzione del problema analogo per i numeri di Lehmer.

 

Due coppie di numeri (α, β) e (α’, β’) si dicono “equivalenti” se α / β = α’ / β’; due coppie equivalenti generano numeri di Lucas privi di divisori primitivi per gli stessi valori di n, quindi nella ricerca si considerano solo coppie non equivalenti.

 

P.M. Voutier completò nel 1995 l’elenco dei numeri di Lucas senza divisori primitivi per n ≤ 30, a meno di equivalenze (v. Numeri di Lucas generalizzati).

 

Nel 1999 Yuri Bilu, Guillaume Hanrot e Paul M. Voutier dimostrarono che non esistono numeri di Lucas senza divisori primitivi per n > 30, e che quindi l’elenco di Voutier è completo.

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