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Primi bilanciati

Teoria dei numeri 

Si chiamano “bilanciati” i numeri primi uguali alla media aritmetica del primo seguente e di quello precedente, ossia quelli con uguali differenze rispetto al precedente e al seguente.

Per esempio, 53 è bilanciato, perché il primo precedente è 47, quello seguente è 59 e 53 – 47 = 6 = 59 – 53.

 

Tranne nel caso di 5, la differenza rispetto ai primi precedente e seguente è un multiplo di 6.

 

I primi bilanciati inferiori a 10000 sono: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393, 5563, 5807, 6073, 6263, 6317, 6323, 6367, 6373, 6863, 6977, 7523, 7583, 7823, 7841, 8117, 8713, 8747, 9397, 9473, 9871.

Qui trovate i primi bilanciati inferiori a 107.

 

Si suppone che i primi bilanciati siano infiniti, ma non è stato dimostrato.

Dalla congettura di Dickson sui numeri primi deriverebbe l’esistenza di infinite terne di primi della forma p – 6, p, p + 6, ma questo non basterebbe ad assicurare l’esistenza di infiniti primi bilanciati, perché potrebbe esserci un altro primo tra i due estremi.

 

Il massimo primo bilanciato noto è 1213266377 • 225000 + 2429 (David Broadhurst, 2014); il primo precedente e quello seguente differiscono di 2430.

 

Il minimo quadrato magico formato da primi bilanciati è il seguente.

6602423

31893539

16675727

28463867

18390563

8317259

20105399

4887587

30178703

 

Un primo bilanciato è la media del primo precedente e seguente; la definizione si può estendere, definendo “primo bilanciato di ordine n” un numero primo che sia uguale alla media degli n precedenti e degli n successivi. Per esempio, 17 è bilanciato di ordine 3, perché 17 = (7 + 11 + 13 + 19 + 23 + 29) / 6.

Vedi anche

Primi (numeri).

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