Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Ogni intero positivo ha un’unica rappresentazione in base b come Rappresentazione di un intero in base b, dove le varie cifre dk sono comprese tra 0 e b – 1. Che succede se modifichiamo leggermente la formula in Rappresentazione modificata di un intero in base b?

Iniziamo con la base più semplice cioè 2: le cifre possono essere solo 0 o 1 e i valori di 2k + 1 sono 2, 3, 5, 9, 17...; il problema diviene quindi la rappresentazione di interi mediante somme di addendi della forma 2k + 1, non ripetuti. Un numero si può rappresentare allora come una sequenza di 0 e 1, che indicano se sommare o meno il corrispondente valore di 2k + 1.

In questo modo alcuni numeri hanno più rappresentazioni, come 5, che può essere espresso come 5 e 2 + 3, ma altri, come 1, 4 e 6 non ne hanno alcuna: questi sono noti come “autonumeri”, in questo caso binari.

Sono talvolta chiamati anche “numeri colombiani” o “numeri di Deviali”.

Furono studiati per la prima volta dal matematico indiano S.D.R. Kaprekar.

 

I numeri che ammettono più rappresentazioni sono infiniti, in particolare sono tali tutti gli interi della forma 2k + 6 con k > 2, come pure quelli che ammettono una rappresentazione unica, in particolare i numeri della forma 2n + 2 + n + 1, se n è un autonumero.

 

Un modo alternativo di descrivere gli autonumeri è: i numeri che non possono essere ottenuti in alcun modo sommando a un intero le sue cifre. Per esempio, 25 non è un autonumero (in base 10) perché 17 + 1 + 7 = 25.

 

Gli autonumeri sono infiniti in qualsiasi base: la sequenza a1 = b – 1 – b mod 2, an = (b – 2)bn – 1 + an – 1 + b – 2 ne genera infiniti in base b > 2 e la sequenza a1 = 1, Ricorrenza che definisce infiniti autonumeri in base 2 ne genera infiniti in base 2.

 

In base dispari sono autonumeri tutti e soli i numeri dispari (V.S. Joshi 1973).

In ogni base b pari maggiore di 2, sono autonumeri 2b, 4b + 2 e b2 + 2b + 1 (R.B. Patel, 1991).

 

I minimi in base 10 sono: 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525.

Qui trovate i primi 1000 (Reinhard Zumkeller).

 

Si può verificare se un intero n è un autonumero in base b in vari modi (nel seguito Sb(n) rappresenta la somma delle cifre di n in base b):

  • provando a calcolare k + Sb(k) per k da Limite superiore per la ricerca di autonumeri a n – 1;

  • se n = abk + c, con c < bk, n è un autonumero se e solo se c – Sb(a) e = Sb(a – 1) + (b – 1)k – c – 1 sono negativi o autonumeri (L. Pebody, 2001).

 

Come per compensare l’esistenza degli autonumeri, esistono numeri ottenibili come somma di un intero e delle sue cifre in più di un modo (S.D.R. Kaprekar):

  • il minimo ottenibile in un solo modo è 2, partendo da 1;

  • il minimo ottenibile in due modi è 101, partendo da 99 e 100;

  • il minimo ottenibile in tre modi è 10000000000001, partendo da 9999999999901, 9999999999892 e 10000000000000;

  • il minimo ottenibile in quattro modi è 1000000000000000000000102, partendo da 999999999999999999999893, 999999999999999999999902, 1000000000000000000000091 e 1000000000000000000000100.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

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