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Heegner (numeri di)

Teoria dei numeri 

Sono i numeri naturali n non multipli di un quadrato per i quali la scomposizione dei numeri della forma a + b * sqrt(–n) in fattori primi (della stessa forma) è unica.

Per esempio, la scomposizione dei numeri della forma a + b * sqrt(–5) non è unica, perché Doppia scomposizione di 6 nel campo a + b * sqrt(–5) e 2, 3, 1 + sqrt(–5)1 + sqrt(–5) sono primi, ossia non ulteriormente scomponibili.

 

Il nome è stato dato in onore di Kurt Heegner (Berlino,16/12/1893 – Berlino, 2/2/1965), che dimostrò che i numeri per i quali la scomposizione è unica sono solo nove: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Già Gauss sospettava che non ce ne fossero altri; nel 1934 H.A. Heilbron e E.H. Linfoot dimostrarono che se ne fossero esistiti altri, avrebbero dovuto superare il miliardo.

Nel 1966 A. Baker e H.M. Strauss dimostrarono indipendentemente che non ne esistono altri, aggirando le difficoltà che rendevano dubbia la dimostrazione di Heegner del 1952, poi comunque definitivamente corretta da Dubner nel 1968.

I campi nei quali la scomposizione in fattori primi è unica si dicono semplici. Baker e Strauss dimostrarono quindi che esistono solo nove campi quadratici complessi semplici.

 

La scomposizione è unica se il numero di classe del numero sotto radice è uno, tranne per i campi degli interi della forma a + b * sqrt(–1) e a + b * sqrt(–2), che dipendono rispettivamente dai numeri di classe di –4 e –8.

Gli unici interi n per i quali il numero di classe di –n è 1 sono: 3, 4, 7, 8, 11, 19, 43, 67, 163.

 

Il polinomio Polinomio che produce vari numeri primi produce numeri primi per x da 0 a Massimo dei valori consecutivi della variabile che generano numeri primi se e solo se il numero di classe di –p è 1, quindi il polinomio x2 + x + k genera primi per x da 0 a k – 1 se e solo se 4k – 1 è un numero di Heegner. Eulero scoprì i 7 polinomi di questo tipo.

Per ciascuno di essi, sostituendo x = ay + b si ottiene un polinomio della forma a2y2 + (2b + 1)ay + b2 + b + k, e in particolare se a = 1 si ottengono infiniti polinomi capaci di generare la stessa sequenza di primi per k valori consecutivi di y.

Il maggior possibile valore di q per il quale il polinomio x2 + x + q produce q primi per tutti i valori di x da 0 a q – 2 è 41. Il polinomio x2 + x + 41 produce numeri primi anche per x da 0 a –40, quindi sostituendo x con x + 40 otteniamo il polinomio x2 + 40x + 79, che produce numeri primi per tutti i valori di x da 0 a 79, ma solo 40 valori differenti.

Si conoscono polinomi di secondo grado capaci di dare più primi per valori consecutivi della variabile, come 36x2 – 810x + 2753, scoperto da R. Ruby, che ne produce 45 per tutti i valori di x da 0 a 44, e altri di grado superiore. Qualsiasi polinomio a coefficienti interi, comunque, produce anche infiniti numeri composti, mentre non è stato dimostrato che esistano polinomi di grado superiore al primo che producano infiniti numeri primi (v. congettura di Bunyakovsky).

 

Stranamente il problema è più… complesso per i campi quadratici reali che per quelli complessi. La scomposizione in campi di numeri della forma a + b * sqrt(n) è unica se n è 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73, ma non è neppure noto se il numero di interi con questa proprietà sia finito o meno, vale a dire che non si sa se i campi quadratici reali semplici siano in numero finito o meno. Esistono campi reali non semplici; per esempio: Doppia scomposizione di 6 nel campo a + b * sqrt(10) e 2, 3, 4 + sqrt(10) e sono 4 – sqrt(10) “primi” tra i numeri della forma a + b * sqrt(10), nel senso che non sono il prodotti di altri due interi della stessa forma.

 

Una delle proprietà curiose di questi numeri è che per essi exp(π * sqrt(n)) – 744 è molto vicino al cubo di un intero, soprattutto per i 3 numeri di Heegner maggiori; in particolare, exp(π * sqrt(163)) – 744 differisce da un cubo per meno di 10–12 (v. costante di Ramanujan).

Anche per altri numeri tuttavia exp(π * sqrt(n)) è molto vicino a un intero: per esempio, exp(π * sqrt(58)) differisce da un intero per meno di 2 • 10–7.

 

L’unicità della scomposizione in campi di numeri della forma a + b * sqrt(–n) è fondamentale per la risoluzione di alcuni problemi.

Per esempio, Fermat aveva sfidato i matematici inglesi a dimostrare che l’equazione y2 + 2 = x3 ha come uniche soluzioni intere x = 3 e y = ±5.

Non sappiamo quale dimostrazione Fermat avesse in mente (era piuttosto avaro di informazioni), ma oggi possiamo risolvere lo stesso problema con relativa facilità, grazie all’unicità della scomposizione nel campo degli interi della forma a + b * sqrt(–2).

Infatti possiamo riscrivere l’equazione come Equazione modificata e potendo dimostrare che y + sqrt(–2)y – sqrt(–2) non hanno fattori comuni, possiamo stabilire che entrambi devono essere cubi e scrivere y + sqrt(–2), con u e v interi. Due numeri complessi sono uguali se e solo se sono uguali sia la parte reale, che quella immaginaria, quindi y = u3 – 6uv2 e Uguaglianza delle parti immaginarie dei cubi, da cui 1 = 3u2v – 2v3 = v(3u2 – 2v2). Ne segue che v deve essere ±1 e u deve pure essere ±1, dopodiché è semplice esaminare le possibili combinazioni e risalire ai valori di x e y.

Non lasciatevi ingannare dall’apparente facilità del metodo: se sostituiamo +2 con –7 nell’equazione di partenza, l’equazione non ha soluzioni intere, ma se invece sostituiamo +2 con –17, trovare le 8 soluzioni, corrispondenti ai valori di x –2, –1, 2, 4, 8, 43, 52 e 5234, richiede tutta la potenza della moderna teoria delle equazioni ellittiche. In questo caso, infatti, sebbene la scomposizione resti unica, non abbiamo garanzie che y + sqrt(–17)y – sqrt(–17) non abbiano fattori primi comuni.

 

Il fatto che infiniti campi non siano semplici, ossia che la scomposizione in fattori primi non è unica, non è affatto ovvio e trasse in inganno alcuni matematici fino al XIX secolo.

Nel 1847 Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (Tours, Francia, 22/7/1795 – Parigi, 1/5/1870) propose una dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat, che presupponeva l’unicità delle scomposizioni e venne poco dopo demolita da Josepg Liouville (Saint-Omer, Francia, 24/3/1809 – Parigi, 8/9/1882), che evidenziò l’errore.

Ernst Eduard Kummer (28/1/1810 – 14/5/1893) credette di poter dimostrare l’ultimo teorema di Fermat per una via simile, ma si scontrò con il problema della scomposizione in fattori primi. Nel tentativo di aggirare le difficoltà, definì quelli che chiamò “numeri ideali” e, pur fallendo in quello che era il suo scopo, creò le basi per un importante ramo della teoria dei numeri.

 

E’ stato dimostrato che l’algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore è applicabile solo se n è –11, –7, –3, –2, –1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 o 73.

Bibliografia

  • Anderson, John, T.;  Ogilvy, C. Stanley;  Excursions in Number Theory, New York, Dover, 1988 -

    Riedizione di Excursions in Number Theory, New York, Oxford University Press, 1966.

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Sery, Robert S.;  "Euler-Type Equations and Their “Clones”" in Journal of Recreational Mathematics, vol. 32, n. 4, 2003 – 2004.

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