Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Se si scrive lo sviluppo in fattori primi di un numero naturale, concatenandoli uno all’altro in ordine crescente, si ottiene un nuovo numero; il processo può essere iterato sino a raggiungere un numero primo, detto “primo base” (home prime nella letteratura inglese) del numero originario.

Per esempio, iniziando con 4, otteniamo: 4 = 2 • 2, quindi 22; 22 = 2 • 11, quindi 211, che è primo, mentre iniziando con 6, otteniamo: 6 = 2 • 3, quindi 23, che è primo.

 

Il primo a interessarsi di queste ricerche fu Jeffrey Heleen, che accese l’interesse con un articolo pubblicato nel 1990 su Recreational and Educational Computation e un altro sei anni dopo su Journal of Recreational Mathematics.

A parte la pura curiosità, ricerche di questo genere costituiscono un ottimo banco di prova per gli algoritmi di scomposizione in fattori primi.

 

Com’è logico attendersi, non sempre la sequenza termina rapidamente e può coinvolgere numeri molto grandi; per esempio, iniziando con 8, otteniamo:

  • 8 = 2 • 2 • 2, quindi 222;

  • 222 = 2 • 3 • 37, quindi 2337;

  • 2337 = 3 • 19 • 41, quindi 31941;

  • 31941 = 3 • 3 • 3 • 7 • 13 • 13, quindi 33371313;

  • 33371313 = 3 • 11123771, quindi 311123771;

  • 311123771 = 7 • 149 • 317 • 941, quindi 7149317941;

  • 7149317941 = 229 • 31219729, quindi 22931219729;

  • 22931219729 = 11 • 2084656339, quindi 112084656339;

  • 112084656339 = 3 • 347 • 911 • 118189, quindi 3347911118189;

  • 3347911118189 = 11 • 613 • 496501723, quindi 11613496501723;

  • 11613496501723 = 97 • 130517 • 917327, quindi 97130517917327;

  • 97130517917327 = 53 • 1832651281459, quindi 531832651281459;

  • 531832651281459 = 3 • 3 • 3 • 11 • 139 • 653 • 3863 • 5107, quindi 3331113965338635107, che finalmente è primo.

 

John Conway, basandosi su argomentazioni probabilistiche, suggerì che la sequenza dovrebbe terminare iniziando con qualsiasi numero, ma non si conosce una dimostrazione rigorosa.

In qualsiasi base i numeri che compongono una sequenza crescono, fino a raggiungere un numero primo.

 

La scomposizione di numeri con fattori primi molto grandi è notoriamente un problema difficile e non stupisce che per molti interi piccoli non si conosca ancora la sequenza completa; vi sono infatti 30 interi inferiori a 1000 dei quali non si conosce ancora la sequenza completa: 49, 146, 242, 312, 320, 322, 326, 328, 336, 352, 363, 495, 548, 556, 576, 596, 663, 665, 670, 712, 714, 715, 768, 782, 845, 858, 861, 925, 978 e 992.

All’elenco vanno aggiunti gli interi ottenuti a partire da altri e gli interi che da un certo punto in poi producono sequenze ottenibili anche da numeri inferiori:

  • 77 e 711, ottenuti a partire da 49;

  • 273 ottenuto a partire da 146;

  • 407, che rientra nella sequenza prodotta da 77;

  • 592, che rientra nella sequenza prodotta da 336;

  • 866, che rientra nella sequenza prodotta da 326;

  • 964, che rientra nella sequenza prodotta da 328;

  • 969, che rientra nella sequenza prodotta da 712.

 

Partendo da 49, dopo in centinaio di passaggi si arrivò nel 2003 a un numero di oltre 200 cifre, che fu scomposto nel 2010, solo per ritrovarsi dopo pochi passaggi un altro grosso ostacolo di 218 cifre dopo un totale di 117 passi.

 

La tabella seguente mostra il primo base e il numero di passi necessari per raggiungerlo per i numeri da 2 a 20 (Great Mersenne Internet Prime Search, http://www.mersennewiki.org).

Numero

Numero di passi

Primo base

2

0

2

3

0

3

4

2

211

5

0

5

6

1

23

7

0

7

8

13

3331113965338635107

9

2

311

10

4

773

11

0

11

12

1

223

13

0

13

14

5

13367

15

4

1129

16

4

31636373

17

0

17

18

1

233

19

0

19

20

15

3318308475676071413

 

La definizione si può estendere ad altre basi; in base due sono stati esaminati i primi 3500 interi e solo per 2295 non si conosce ancora l’intera sequenza.

 

Se i fattori primi vengono concatenati dal maggiore al minore, si ottiene una definizione equivalente, ma leggermente meno interessante: in questo caso, infatti, partendo dai numeri pari si ottiene un intero che termina in 2, generando una sequenza infinita di numeri crescenti; lo stesso capita in qualsiasi base pari.

Inoltre se il numero è multiplo di 5, si genera una lunga sequenza di numeri terminanti in 5, che s’interrompe solo se a un certo punto compare un fattore 3. In generale lo stesso capita in qualsiasi base, se il numero è multiplo di uno dei fattori della base (inclusa la base stessa).

Escluse le eccezioni sopra indicate, sembra che ogni sequenza debba terminare con un numero finito di passi, ma non si conoscono le sequenze complete per alcuni interi relativamente piccoli, come 209.

Vedi anche

Primi (numeri).

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Heleen, Jeffrey;  "Family Numbers: Constructing Primes by Prime Factor Splicing" in Journal of Recreational Mathematics, Vol. 28, n. 2, 1996 – 97, pag. 116 – 119.

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