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Divisori primitivi tra i numeri di Lehmer (problema dei)

Problemi  Sequenze 

Dati due numeri complessi α e β, tali che αβ = q e α + β = sqrt(r), con q e r interi primi tra loro e α + β = sqrt(r) non radice dell’unità, i numeri di Lehmer (I) sono i numeri che formano la sequenza di Lehmer Formula per i numeri di Lehmer di indice dispari per n dispari e Formula per i numeri di Lehmer di indice pari per n pari.

Si dice che un numero di Lehmer Un ha un divisore primitivo se è divisibile per un numero primo che non divide alcun altro Uk con 0 < k < n né (α2 – β2)2. Due coppie di numeri (α, β) e (α’, β’) si dicono “equivalenti” se α / β = α' / β' = ±1 o α / β = α' / β' = ±sqrt(–1); due coppie equivalenti generano numeri di Lehmer privi di divisori primitivi per gli stessi valori di n, quindi nella ricerca si considerano solo coppie non equivalenti.

 

Il problema di determinare quali numeri di Lehmer non abbiano divisori primitivi è stato completamente risolto solo in tempi relativamente recenti.

 

Il primo passo si deve a K. Zsigmondy, che nel 1892 dimostrò che se α e β sono interi, Un ha un divisore primitivo per n > 6.

 

Nel 1913 P.D. Carmichael dimostrò che se α e β sono reali, Un ha un divisore primitivo per n > 12.

 

M. Ward nel 1955 dimostrò che se α2 e β2 sono reali e n è diverso da 6 e 12, Un ha un divisore primitivo.

 

Andrzej Schinzel, che nel 1962 dimostrò che se α e β sono complessi, Un ha un divisore primitivo per n abbastanza grande. Nel 1974 lo stesso Schinzel dimostrò che esiste un valore n0 indipendente da α e β, tale che per n > n0 Un ha un divisore primitivo.

 

C. Stewart dimostrò nel 1977 che n0 ≤ 467e452 ≈ 4.3563748210 • 10236; P.M Voutier ridusse il limite a 2 • 1010 nel 1995 e a 30010 l’anno seguente.

Stewart dimostrò anche che, considerando tutti i valori di α e β, per n > 6 e diverso da 8, 10 e 12 i numeri di Lehmer privi di divisori primitivi sono in numero finito, mentre esistono infinite eccezioni per gli altri valori di n.

 

Il metodo di Stewart permette di trovare tutte le eccezioni, fissato n; utilizzando tale metodo P.M Voutier completò nel 1995 l’elenco dei numeri di Lehmer senza divisori primitivi per n ≤ 250 (v. numeri di Lehmer (I)).

 

Finalmente nel 1999 Yuri Bilu, Guillaume Hanrot e Paul M. Voutier dimostrarono che non esistono numeri di Lehmer senza divisori primitivi per n > 30, e che quindi l’elenco di Voutier era completo.

 

Il passo successivo fu di stabilire quali numeri di Lehmer abbiano un solo divisore primo primitivo.

 

I lavori di Schinzel (1962), A. Rotkiewicz (1962) e Robert Juricevic (2007) permisero di costruire la lista completa dei numeri di Lehmer che hanno un solo divisore primitivo, per α e β reali (v. numeri di Lehmer (I)).

 

Il lavoro di Juricevic rende estremamente plausibile l’esistenza di alcune famiglie infinite di eccezioni per α e β complessi, ma manca per ora una dimostrazione rigorosa.

Vedi anche

Numeri di Lehmer (I).

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