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Scelta dei punti di interpolazione (problema della)

Analisi  Problemi 

Data una funzione f definita in un intervallo di estremi a e b e un insieme S = { x1, x2, … xn }di n punti nello stesso intervallo, si può calcolare un’interpolazione polinomiale col metodo di Lagrange, ossia un polinomio di grado n – 1 tale che suo grafico contenga i punti (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), … (xn, f(xn)).

Le costanti di Lebesgue (II) Λn(S) danno una misura della bontà dell’approssimazione, nel senso che Formula per la definizione delle costanti di Lebesgue, dove P*(x) è la migliore possibile approssimazione polinomiale di grado n alla funzione nello stesso intervallo.

 

Nel caso dell’intervallo [–1 .. 1], utilizzando  come punti di S le radici polinomio di Chebyshev di prima specie Tn(x), i valori di Λn(S) costituiscono una successione monotona decrescente Limite superiore per il valore di Λ(n), (R. Günttner, 1994) e Limite asintotico cui tende Λ(n).

 

Le radici dei polinomi di Chebyshev di prima specie non costituiscono però l’insieme ottimale, nel senso di minimizzare i valori di Λn(S). Per esempio, utilizzando i punti Punti che costituiscono l'insieme S per n > 1 abbiamo che Limite asintotico cui tende Λ(n) (R. Günttner, 1994).

 

Determinare gli insiemi ottimali è tuttora un problema irrisolto nel caso generale.

P. Vértesi dimostrò nel 1986 che utilizzando gli insiemi ottimali Limite asintotico cui tende Λ(n).

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