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Approssimazione di reali tramite razionali (problema della)

Algebra  Problemi  Rappresentazione dei numeri 

Quanto bene si possono approssimare numeri reali tramite numeri irrazionali, se si è disposti a utilizzare denominatori grandi?

 

Il problema è stato completamente risolto se si cerca di approssimare un solo numero reale.

Adolf Hurwitz (Hildesheim, Germania, 26/3/1859 – Zurigo, 18/11/1919) dimostrò che ogni numero irrazionale r può essere approssimato da infinite frazioni p / q in modo che Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra r e l'approssimazione razionale e che in generale non si può aumentare la costante Radice quadrata di 5, perché vi sarebbero infiniti controesempi.

Neppure l’esponente 2 a denominatore può essere aumentato per i numeri algebrici (teorema di Roth).

 

Se invece di un unico numero reale si cerca di approssimare un insieme di n numeri, r1, r2 ... rn, mediante frazioni con lo stesso denominatore, il problema è stato risolto solo in parte. In questo caso, infatti, esistono infiniti gruppi di valori q, p1, p2 ... pn tali che Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra r e l'approssimazione razionale, dove la costante cn dipende da n, però non si conoscono i valori delle costanti cn. Si sa che Limite superiore per il valore di c(n) (W.G. Spohn, 1968) e per i primi valori di n si conoscono limiti inferiori.

Vedi anche

Numeri di Lagrange .

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