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Cubo del principe Rupert (problema del)

Geometria  Problemi 

Il principe Rupert (17/12/1619 – 29/11/1682), nipote di Carlo I d’Inghilterra scommise nel 1693 che un cubo poteva passare attraverso un foro praticato in uno più piccolo; il problema divenne da allora noto come “problema del cubo del principe Rupert”.

 

John Wallis (Ashford, UK, 21/11/1616 – Oxford, UK, 28/10/1703) dimostrò che l’operazione è possibile, facendo vincere la scommessa al principe. Wallis però ritenne che il foro di massimo lato dovesse essere parallelo alla massima proiezione esagonale del cubo, ossia perpendicolare a una diagonale interna, e ottenne in questo modo un foro di lato sqrt(6) – sqrt(2) volte lo spigolo del cubo.

 

Al matematico olandese Pieter Nieuwland (Diemermeer, Olanda, 5/11/1764 – Leiden, Olanda 14/11/1794) spetta il merito della prima soluzione corretta, mostrata nella figura seguente.

 

Il massimo foro quadrato praticabile in un cubo

 

Il quadrato di vertici A, B, C e D giace all’interno di una sezione esagonale (non regolare) del cubo di area 21 / 16 volte quella di una faccia e i suoi vertici distano 1 / 4 dal più vicino vertice del cubo. Il lato del quadrato è 3 * sqrt(2) / 4 volte lo spigolo del cubo.

 

Il problema è stato generalizzato a dimensioni superiori, cercando il massimo spigolo f(m, n) di un cubo a m dimensioni contenuto in un cubo a n dimensioni; f(n – 1, n) è quindi il massimo spigolo di un ipercubo a n dimensioni che possa attraversare un foro praticato in un ipercubo di spigolo unitario.

Nel caso generale il problema non è ancora stato completamente risolto, tuttavia è stato dimostrato che:

  • f(m, n) è sempre un numero algebrico, ossia che è radice di un’equazione polinomiale a coefficienti interi;

  • f(m, n) ≤ sqrt(n / m);

  • f(m + 1, n) < f(m, n) < f(m, n + 1);

  • f(m, n) = sqrt(n / m), se m divide n, e quindi in particolare f(1, n) = sqrt(n) è la lunghezza del massimo segmento contenuto in un ipercubo, ossia la lunghezza della sua diagonale interna (Kay R. Pechenick DeVicci, 1996);

  • f(2, n) = sqrt(n / 2 – 3 / 8), se n è dispari, e f(2, n) = sqrt(n / 2), se n è pari (Kay R. Pechenick DeVicci, 1996);

  • f(3, 4) è la radice quadrata della minima soluzione positiva dell’equazione 4x4 – 28x3 – 7x2 + 16x + 16, cioè circa 1.0074347569, che Finch chiama “costante dell’ipercubo di DeVicci” (Kay R. Pechenick DeVicci, 1996);

  • f(3, 5) = sqrt(11 – 4 * sqrt(6)) (G. Huber, 1999).

 

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