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Quattro punti (problema dei)

Geometria  Matematica combinatoria  Problemi 

Il problema dei quattro punti di Sylvester consiste nel determinare la probabilità che scegliendo quattro punti a caso in un quadrato, nessuno sia contenuto nel triangolo che ha gli altri tre come vertici, ossia la probabilità che i quattro punti possano costituire i vertici di un quadrilatero convesso.

 

Il problema è stato risolto dimostrando che, per qualunque sottoinsieme convesso del piano, di area finita, la probabilità è compresa tra 2 / 3, nel caso di un triangolo, e 1 – 35 / (12 * π^2), nel caso di un cerchio o di un’ellisse (W.J.E. Blaschke, 1917) e più precisamente la probabilità per punti scelti in una qualsiasi regione R è uguale a Limiti inferiore e superiore per il valore della probabilità, dove AT(R) è l’area media attesa di un triangolo contenuto in R con i vertici scelti casualmente e A(R) è l’area della regione R.

 

Nel caso dei poligoni regolari con n lati Rapporto tra le aree nel caso di poligoni regolari (Alikoski, 1939), quindi nel caso del quadrato la probabilità è 25 / 36.

 

Se i punti sono scelti in una regione non convessa, la probabilità minima può ridursi fino alla costante degli incroci rettilinei (E.R. Scheinerman e H.S. Wilf, 1994) e la massima può avvicinarsi a piacere a 1.

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