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Esistenza di altri numeri idonei (problema della)

Problemi  Teoria dei numeri 

Eulero chiamò “idonei” gli interi positivi n con la seguente proprietà: se m è un intero dispari, primo rispetto a n, rappresentabile in un solo modo come x2 + ny2 con x e y interi positivi e x e ny primi tra loro, m è primo o potenza di primo.

Per esempio, se un intero è rappresentabile in un unico modo come x2 + 3y2, con x e y primi tra loro, allora è primo o potenza di primo.

 

Se nella definizione si richiede che x e y siano non negativi (ammettendo quindi la possibilità che uno dei due sia zero), allora m è necessariamente primo. In questo modo, infatti, si evitano casi come 9 = 12 + 2 • 22, perché compare una seconda rappresentazione: 9 = 32 + 2 • 02 e si eliminano le potenze dei primi.

 

Eulero nel 1778 trovò 65 numeri idonei: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 e 1848, a tutt’oggi ancora gli unici noti. Eulero estese le sue ricerche sino a 10000 e si convinse che non dovevano esistene altri, ma non riuscì a provarlo. I matematici iniziarono quindi a cercare altri numeri idonei o a tentare di dimostrare che non ne esistono altri.

 

Finora è stata esclusa l’esistenza di altri numeri idonei inferiori a  2.5 • 109 (S. Ramachandran e H. Williams, 2006).

 

E. Grosswald dimostrò nel 1963 che, supponendo vera una versione generale dell’ipotesi di Riemann, la lista di Eulero dei numeri idonei è completa.

 

Peret J. Weinberger dimostrò nel 1973 che oltre a quelli noti ce n’è al massimo un altro, non multiplo di un quadrato e della forma 4k + 1, oppure due, il minore non multiplo di un quadrato e della forma 4k + 2, il maggiore uguale al suo quadruplo.

 

L’opinione prevalente tra gli esperti è non ne esistano altri, ma manca per il momento una dimostrazione indipendente da ipotesi non dimostrate.

Vedi anche

Numeri idonei.

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