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μ*(n)

Funzioni 

La funzione di Smarandache duale μ*(n) fu definita da Jozsef Sandor nel 2002 come il massimo intero k tale che k! divida n. Per esempio, μ*(12) = 3, perché 3! = 6 divide 12, mentre 4! = 24 non divide 12.

La funzione è talvolta indicata come S*(n).

 

Alcune proprietà della funzione:

  • 1 ≤ μ*(n) ≤ μ(n) ≤ n, dove μ(n) è la funzione di Smarandache;

  • μ*(mn) ≥ max(μ*(m), μ*(n));

  • Disuguaglianza che coinvolge la funzione μ*, per mn;

  • μ*(n!) = n;

  • μ*((2n)!(2n + 2)!) = 2n + 2, se 2n + 3 è primo;

  • μ*((2n)!(2n + 2)!) ≥ 2n + 3, se 2n + 3 non è primo;

  • μ*((2n + 1)!(2n + 3)!) ≥ 2n + 4;

  • se p è primo e np, μ*(n! + (p – 1)!) = p – 1;

  • μ*(n) = μ(n) se e solo se n è un fattoriale.

 

La tabella seguente riporta i primi 20 valori della funzione μ*(n).

n

μ*(n)

1

1

2

2

3

1

4

2

5

1

6

3

7

1

8

2

9

1

10

2

11

1

12

3

13

1

14

2

15

1

16

2

17

1

18

3

19

1

20

2

 

Bibliografia

  • Majumdar, A.A.K.;  Wandering in the World of Smarandache Numbers, InProQuest, 2010 -

    Il libro contiene alcune dimostrazioni errate o lacunose.

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