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Automorfi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “automorfi” i numeri naturali che si ripetono come cifre finali del loro quadrato. Per esempio, 25 è automorfo, perché 252 = 625 termina con 25.

 

A parte i casi banali 0 e 1, automorfi in ogni base, un intero n < b (rappresentabile con una singola cifra in base b) è automorfo in base b se b divide n2n = n(n – 1); pertanto ogni numero naturale n maggiore di 2 è automorfo come minimo in base n(n – 1). Per esempio, 4 è automorfo in base 12.

Viceversa 2 non è automorfo in alcuna base.

 

I numeri automorfi di k cifre devono terminare con un numero automorfo di k – 1 cifre, quindi se non ne esistono di una cifra, non ne esiste nessuno.

In particolare, non vi sono numeri automorfi (a parte i già citati casi banali) in basi che siano numeri primi o potenze di numeri primi.

 

Da ogni numero automorfo di k cifre se ne ottiene uno e uno solo di k + 1 cifre, anteponendo una cifra opportuna. La cifra aggiunta può però essere 0, quindi i numeri che terminano con quelle cifre sembrano “sparire” dall’elenco, ma riappariranno con qualche cifra in più. Per esempio, in base 10 l’unica cifra che si può anteporre a 625 è 0, ma la sequenza dei numeri terminanti in 625 riprende con 90625.

In ogni base b vi sono 2m sequenze di questo tipo, due delle quali banali, dove m è il numero di fattori primi distinti di b. In base 10 vi sono quindi 2 sequenze non banali, terminanti in 5 e 6.

E’ semplice costruire numeri automorfi enormi allungando queste sequenze.

 

La somma dei numeri automorfi di k cifre in base b, contando anche quelli nei quali l’ultima cifra aggiunta è 0, è 2m – 1bk + 2m – 1; in particolare in base 10 la somma dei numeri automorfi di k cifre è 10k + 1. Per esempio, in base 10 la somma dei due numeri automorfi di 3 cifre è 376 + 625 = 1001 = 103 + 1 e la somma dei due di 4 cifre è 9376 + 0625 = 104 + 1.

 

La tabella seguente riporta i numeri automorfi inferiori a 109 nelle basi fino a 20, escludendo i casi banali (M. Fiorentini, 2015).

Base

Numeri automorfi

6

3, 4, 136 = 9, 446 = 28, 2136 = 81, 3446 = 136, 53446 = 1216, 502136 = 6561, 2053446 = 16768, 3502136 = 29889, 13502136 = 76545, 42053446 = 203392, 213502136 = 636417, 342053446 = 1043200, 2213502136 = 3995649, 3342053446 = 6082048, 22213502136 = 24151041, 33342053446 = 36315136, 522213502136 = 326481921, 1522213502136 = 689278977

10

5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376

12

4, 9, 5412 = 64, 6912 = 81, 36912 = 513, 85412 = 1216, 385412 = 6400, 836912 = 14337, B385412 = 234496, 1B385412 = 483328, A0836912 = 2502657, 5A0836912 = 17432577, 61B385412 = 18399232, B61B385412 = 412549120, 1B61B385412 = 842530816

14

7, 8, 3714 = 49, A814 = 148, 1A814 = 344, C3714 = 2401, D1A814 = 36016, 3D1A814 = 151264, A0C3714 = 386561, 33D1A814 = 1764736, AA0C3714 = 5764801, 633D1A814 = 46941952, 7AA0C3714 = 58471553, 37AA0C3714 = 374712065

15

6, A15 = 10, 6A15 = 100, 8615 = 126, 46A15 = 1000, A8615 = 2376, 146A15 = 4375, DA8615 = 46251, 3146A15 = 156250, BDA8615 = 603126, 4BDA8615 = 3640626, A3146A15 = 7750000, 1A3146A15 = 19140625, D4BDA8615 = 151718751, 4D4BDA8615 = 835156251

18

9, A18 = 10, 4918 = 81, DA18 = 244, 24918 = 729, FDA18 = 5104, 124918 = 6561, GFDA18 = 98416, 3GFDA18 = 413344, E124918 = 1476225, 4E124918 = 9034497, D3GFDA18 = 24977728, 7D3GFDA18 = 263063296, A4E124918 = 349156737

20

5, G20 = 16, 8G20 =176, B520 = 225, 6B520 = 2625, D8G20 =5376, 8D8G20 = 69376, B6B520 = 90625, 98D8G20 = 1509376, AB6B520 = 1690625, 1AB6B520 = 4890625, I98D8G20 = 59109376, 21AB6B520 = 132890625

 

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