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Valore delle costanti di Hermite (problema del)

Geometria  Problemi  Vari 

La definizione delle costanti di Hermite deriva dal problema del miglior impacchettamento possibile di ipersfere in n dimensioni.

La costante di Hermite γn è definita come Formula per la definizione della costante di Hermite γ(n), dove dn è la massima densità raggiungibile impacchettando ipersfere in n dimensioni e Volume di un’ipersfera di raggio unitario a n dimensioni è il volume di un’ipersfera di raggio unitario a n dimensioni.

 

Sebbene sia “ovvio” che il miglior impacchettamento possibile di cerchi in 2 dimensioni è secondo uno schema esagonale, nel quale ogni cerchio ne tocca altri 6, la dimostrazione rigorosa si ebbe solo nel 1944, grazie al matematico ungherese G. Fejes-Tóth.

 

Il problema del migliore impacchettamento di sfere fu sollevato dai militari, alla ricerca del modo migliore di immagazzinare proiettili di cannone.

Il metodo migliore, abbastanza semplice, consiste nell’impacchettare sfere in strati a simmetria esagonale e sovrapporli, in modo che le sfere di uno strato si incastrino nelle cavità di quello sottostante; in questo modo ogni sfera ne tocca 12 altre, 6 sul suo piano, 3 sopra e 3 sotto.

La disposizione fu proposta da Keplero nel 1611, ma la dimostrazione rigorosa si ebbe solo nel 1998, grazie a Thomas Callister Hales e al massiccio impiego di calcolatori elettronici.

Le costanti di Hermite non sono però note in dimensioni superiori a 3.

 

Le disposizioni regolari, ossia con i centri delle ipersfere in corrispondenza di punti di un reticolo regolare, sono più semplici da trattare e le corrispondenti costanti di Hermite sono infatti note in tutte le dimensioni fino a 8 e in 24 dimensioni.

Non è però detto che gli impacchettamenti regolari siano i migliori possibili: al momento, infatti, in 10, 11 e 13 dimensioni i migliori impacchettamenti noti non sono regolari.

 

Nel 1978 G.A. Kabatyanskii e V.I. Levenshtein dimostrarono che Limiti inferiore e superiore per la densità del miglior impacchettamento, dove la costante c si ricava da una complicata espressione e vale circa –0.59905, ed è stato dimostrato che per n abbastanza grande vale Limiti inferiore e superiore per il valore di γ(n).

Inoltre il teorema di Minkowski – Hlawka stabilisce che per impacchettamenti regolari in n dimensioni si può raggiungere una densità pari almeno a Limite inferiore per la densità del miglior impacchettamento regolare.

Vedi anche

Costanti di Hermite.

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