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Heilbronn (problema di)

Geometria  Problemi 

Il problema di Heilbronn consiste nel disporre 3 o più punti in un quadrato di lato unitario, in modo da rendere massima l’area del più piccolo triangolo avente per vertici tre dei punti.

Si chiama “costante di Heilbronn Hn” l’area del minimo triangolo con n punti.

 

Il problema è stato completamente risolto solo fino a 6 punti; per valori superiori si conoscono limiti inferiori, molti dei quali probabilmente costituiscono la soluzione migliore, ma non sono ancora stati dimostrati tali.

Di conseguenza il valore delle costanti di Heilbronn non è noto per n > 6; i migliori limiti generali noti sono Limiti inferiore e superiore per H(n), per c1 e c2 costanti, ε arbitrariamente piccolo e n abbastanza grande (J. Komlós, J. Pintz e E. Szemerédi, 1981).

 

Il problema è stato riproposto per punti entro figure differenti.

Nel caso di un cerchio di area 1, la miglior disposizione fino a 6 punti è ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto, ma 7 o più punti le migliori disposizioni di punti note non sono state dimostrate ottimali e quindi per i corrispondenti valori di HC, n è noto solo un limite inferiore.

 

Il problema è stato proposto anche per triangoli di area unitaria, nel qual caso la costante non dipende dalla forma del triangolo.

Anche nel caso del triangolo le disposizioni trovate sono state dimostrate ottimali solo fino a n = 6, mentre per valori maggiori di n è noto solo un limite inferiore per i corrispondenti valori di HT, n.

Vedi anche

Costanti di Heilbronn.

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