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Valore delle costanti connettive dei reticoli (problema del)

Matematica combinatoria  Problemi 

Definiamo cd(n) come il numero di cammini distinti di n passi che, partendo da un punto fissato, non passino due volte sullo stesso punto in un reticolo a d dimensioni.

 

Per un reticolo cubico a d dimensioni i primi valori di cd(n) sono relativamente facili da calcolare, ma per d > 1 al crescere di n contare i cammini diventa piuttosto difficile.

Vale il limite Formula per la definizione della costante connettiva del reticolo a d dimensioni, ma i valori di μd, detta “costante connettiva del reticolo a d dimensioni”, non sono noti con precisione. I migliori limiti noti sono:

  • 2.62002 ≤ μ2 ≤ 2.679192495;

  • 4.572140 ≤ μ3 ≤ 4.7476;

  • 6.742945 ≤ μ4 ≤ 6.8179;

  • 8.828529 ≤ μ5 ≤ 8.8602;

  • 10.874038 ≤ μ6 ≤ 10.8886.

 

Per i reticoli triangolari piani si sa solo che Limite superiore per il valore della costante connettiva del reticolo triangolare (S.E. Alm, 1993).

 

Per i reticoli esagonali piani la corrispondente costante, chiamata “costante connettiva del reticolo dell’alveare” è Formula per il valore della costante connettiva del reticolo dell'alveare (Hugo Duminil-Copin e Stanislav Smirnov, 2010).

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