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Determinazione dei campi semplici (problema della)

Problemi  Teoria dei numeri 

Si chiamano “campi semplici” i campi di numeri algebrici della forma a + b * sqrt(n), dove a, b e n sono interi e n non è multiplo di un quadrato, per i quali la scomposizione in fattori primi (della stessa forma) è unica.

Se n è positivo il campo si dice “reale”, altrimenti si dice “complesso”.

Il problema della determinazione dei campi semplici consiste nell’individuare quali siano.

 

Per i campi complessi il problema è stato completamente risolto da Kurt Heegner, che nel 1952 dimostrò che i numeri per i quali la scomposizione è unica sono solo nove: –1, –2, –3, –7, –11, –19, –43, –67, –163 (v. numeri di Heegner). La dimostrazione aveva lacune, definitivamente corrette da Dubner nel 1968.

A parte –1 e –2, questi sono tutti e soli gli interi negativi con numero di classe –1.

 

Il problema è tuttora aperto per i campi semplici reali; si sa che sono semplici i campi per n uguale a 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73, ma non si sa se esistano altri interi (positivi) con la stessa proprietà e neppure se siano in numero finito.

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