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Autodescrittivi (numeri) (I)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “autodescrittivi” o “autobiografici” i numeri naturali che descrivono se stessi, ossia che, letti da sinistra a destra indicano la sequenza delle cifre che li compongono, in qualsiasi ordine.

 

Il minimo in qualsiasi base maggiore di 2 è 22, che si legge come “due 2”; il successivo è 10213223, che si legge come “uno 0, due 1, tre 2, due 3”.

 

In base 2 non ne esistono.

 

Una sequenza di cifre autodescrittiva è tale  in tutte le basi maggiori della massima cifra che contiene, anche se in basi differenti rappresenta numeri diversi. Di conseguenza 22 è autodescrittivo in tutte le basi maggiori di 2.

 

Una sequenza di cifre autodescrittiva resta tale per ogni permutazione delle coppie di cifre che lo compongono (per esempio, da 10213223 si ottengono 21321023, 23211032 ecc.); per questo si usa scriverli in ordine crescente delle cifre menzionate (prima il numero di 0, poi di 1, poi di 2 e così via), a meno che si cerchino proprietà aggiuntive (come l’essere quadrati o primi), che svanirebbero permutando le cifre.

 

In qualsiasi base maggiore di 2 l’unico numero autodescrittivo di 2 cifre è 22.

In nessuna base vi sono numeri autodescrittivi di 4 o 6 cifre.

 

In ogni base b:

  • sono in numero finito, perché composti da al massimo b gruppi di cifre, per un totale di al massimo 2b + 1 cifre (al massimo uno dei gruppi contiene un “descrittore” di 2 cifre);

  • la somma delle cifre è al massimo Massima somma delle cifre di un numero autodescrittivo in base b.

In base 10 sono in tutto 109, il massimo dei quali è 101112213141516171819.

 

La tabella seguente riporta i numeri autodescrittivi fino a 109 nelle basi fino a 20.

Base

Numeri autodescrittivi

3

223 = 8

4

224 = 10, 102132234 = 18923, 103112334 = 19823

5

225 = 12, 102132235 = 85438, 103112335 = 88318, 103133145 = 88584, 213223145 = 182834, 311233145 = 254834, 10312233145 = 2211084

6

226 = 14, 102132236 = 297519, 103112336 = 304869, 103133146 = 305326, 103133156 = 305327, 213223146 = 632998, 213223156 = 632999, 311233146 = 897598, 311233156 = 897599, 313314156 = 914051, 10312233146 = 10983070, 10312233156 = 10983071, 31223314156 = 32593475

7

227 = 16, 102132237 = 860702, 103112337 = 876830, 103133147 = 877552, 103133157 = 877553, 103133167 = 877554, 213223147 = 1820802, 213223157 = 1820803, 213223167 = 1820804, 311233147 = 2611074, 311233157 = 2611075, 311233167 = 2611076, 313314157 = 2646453, 313314167 = 2646454, 313315167 = 2646503, 10312233147 = 42981488, 10312233157 = 42981489, 10312233167 = 42981490, 31223314157 = 128766181, 31223314167 = 128766182, 31223315167 = 128766231

8

228 = 18, 102132238 = 2168467, 103112338 = 2200219, 103133148 = 2201292, 103133158 = 2201293, 103133168 = 2201294, 103133178 = 2201295, 213223148 = 4564172, 213223158 = 4564173, 213223168 = 4564174, 213223178 = 4564175, 311233148 = 6596300, 311233158 = 6596301, 311233168 = 6596302, 311233178 = 6596303, 313314158 = 6664973, 313314168 = 6664974, 313314178 = 6664975, 313315168 = 6665038, 313315178 = 6665039, 313316178 = 6665103, 10312233148 = 140846796, 10312233158 = 140846797, 10312233168 = 140846798, 10312233178 = 140846799, 31223314158 = 424260365, 31223314168 = 424260366, 31223314178 = 424260367, 31223315168 = 424260430, 31223315178 = 424260431, 31223316178 = 424260495

9

229 = 20, 102132239 = 4909998, 103112339 = 4967598, 103133149 = 4969120, 103133159 = 4969121, 103133169 = 4969122, 103133179 = 4969123, 103133189 = 4969124, 213223149 = 10289362, 213223159 = 10289363, 213223169 = 10289364, 213223179 = 10289365, 213223189 = 10289366, 311233149 = 14954962, 311233159 = 14954963, 311233169 = 14954964, 311233179 = 14954965, 311233189 = 14954966, 313314159 = 15078245, 313314169 = 15078246, 313314179 = 15078247, 313314189 = 15078248, 313315169 = 15078327, 313315179 = 15078328, 313315189 = 15078329, 313316179 = 15078409, 313316189 = 15078410, 313317189 = 15078491, 10312233149 = 402434500, 10312233159 = 402434501, 10312233169 = 402434502, 10312233179 = 402434503, 10312233189 = 402434504

10

22, 10213223, 10311233, 10313314, 10313315, 10313316, 10313317, 10313318, 10313319, 21322314, 21322315, 21322316, 21322317, 21322318, 21322319, 31123314, 31123315, 31123316, 31123317, 31123318, 31123319, 31331415, 31331416, 31331417, 31331418, 31331419, 31331516, 31331517, 31331518, 31331519, 31331617, 31331618, 31331619, 31331718, 31331719, 31331819

11

2211 = 24, 1021322311 = 19828174, 1031123311 = 19986574, 1031331411 = 19989336, 1031331511 = 19989337, 1031331611 = 19989338, 1031331711 = 19989339, 1031331811 = 19989340, 1031331911 = 19989341, 2132231411 = 41261378, 2132231511 = 41261379, 2132231611 = 41261380, 2132231711 = 41261381, 2132231811 = 41261382, 2132231911 = 41261383, 3112331411 = 60427778, 3112331511 = 60427779, 3112331611 = 60427780, 3112331711 = 60427781, 3112331811 = 60427782, 3112331911 = 60427783, 3133141511 = 60761981, 3133141611 = 60761982, 3133141711 = 60761983, 3133141811 = 60761984, 3133141911 = 60761985, 3133151611 = 60762103, 3133151711 = 60762104, 3133151811 = 60762105, 3133151911 = 60762106, 3133161711 = 60762225, 3133161811 = 60762226, 3133161911 = 60762227, 3133171811 = 60762347, 3133171911 = 60762348, 3133181911 = 60762469

12

2212 = 26, 1021322312 = 36355707, 1031123312 = 36601095, 1031331412 = 36604672, 1031331512 = 36604673, 1031331612 = 36604674, 1031331712 = 36604675, 1031331812 = 36604676, 1031331912 = 36604677, 2132231412 = 75441472, 2132231512 = 75441473, 2132231612 = 75441474, 2132231712 = 75441475, 2132231812 = 75441476, 2132231912 = 75441477, 3112331412 = 110777344, 3112331512 = 110777345, 3112331612 = 110777346, 3112331712 = 110777347, 3112331812 = 110777348, 3112331912 = 110777349, 3133141512 = 111292433, 3133141612 = 111292434, 3133141712 = 111292435, 3133141812 = 111292436, 3133141912 = 111292437, 3133151612 = 111292578, 3133151712 = 111292579, 3133151812 = 111292580, 3133151912 = 111292581, 3133161712 = 111292723, 3133161812 = 111292724, 3133161912 = 111292725, 3133171812 = 111292868, 3133171912 = 111292869, 3133181912 = 111293013

13

2213 = 28, 1021322313 = 63526622, 1031123313 = 63893534, 1031331413 = 63898072, 1031331513 = 63898073, 1031331613 = 63898074, 1031331713 = 63898075, 1031331813 = 63898076, 1031331913 = 63898077, 2132231413 = 131499762, 2132231513 = 131499763, 2132231613 = 131499764, 2132231713 = 131499765, 2132231813 = 131499766, 2132231913 = 131499767, 3112331413 = 193507890, 3112331513 = 193507891, 3112331613 = 193507892, 3112331713 = 193507893, 3112331813 = 193507894, 3112331913 = 193507895, 3133141513 = 194274813, 3133141613 = 194274814, 3133141713 = 194274815, 3133141813 = 194274816, 3133141913 = 194274817, 3133151613 = 194274983, 3133151713 = 194274984, 3133151813 = 194274985, 3133151913 = 194274986, 3133161713 = 194275153, 3133161813 = 194275154, 3133161913 = 194275155, 3133171813 = 194275323, 3133171913 = 194275324, 3133181913 = 194275493

14

2214 = 30, 1021322314 = 106536223, 1031123314 = 107068573, 1031331414 = 107074230, 1031331514 = 107074231, 1031331614 = 107074232, 1031331714 = 107074233, 1031331814 = 107074234, 1031331914 = 107074235, 2132231414 = 220052942, 2132231514 = 220052943, 2132231614 = 220052944, 2132231714 = 220052945, 2132231814 = 220052946, 2132231914 = 220052947, 3112331414 = 324393542, 3112331514 = 324393543, 3112331614 = 324393544, 3112331714 = 324393545, 3112331814 = 324393546, 3112331914 = 324393547, 3133141514 = 325502315, 3133141614 = 325502316, 3133141714 = 325502317, 3133141814 = 325502318, 3133141914 = 325502319, 3133151614 = 325502512, 3133151714 = 325502513, 3133151814 = 325502514, 3133151914 = 325502515, 3133161714 = 325502709, 3133161814 = 325502710, 3133161914 = 325502711, 3133171814 = 325502906, 3133171914 = 325502907, 3133181914 = 325503103

15

2215 = 32, 1021322315 = 172439358, 1031123315 = 173191998, 1031331415 = 173198944, 1031331515 = 173198945, 1031331615 = 173198946, 1031331715 = 173198947, 1031331815 = 173198948, 1031331915 = 173198949, 2132231415 = 355496194, 2132231515 = 355496195, 2132231615 = 355496196, 2132231715 = 355496197, 2132231815 = 355496198, 2132231915 = 355496199, 3112331415 = 524840194, 3112331515 = 524840195, 3112331615 = 524840196, 3112331715 = 524840197, 3112331815 = 524840198, 3112331915 = 524840199, 3133141515 = 526403045, 3133141615 = 526403046, 3133141715 = 526403047, 3133141815 = 526403048, 3133141915 = 526403049, 3133151615 = 526403271, 3133151715 = 526403272, 3133151815 = 526403273, 3133151915 = 526403274, 3133161715 = 526403497, 3133161815 = 526403498, 3133161915 = 526403499, 3133171815 = 526403723, 3133171915 = 526403724, 3133181915 = 526403949

16

2216 = 34, 1021322316 = 270610979, 1031123316 = 271651379, 1031331416 = 271659796, 1031331516 = 271659797, 1031331616 = 271659798, 1031331716 = 271659799, 1031331816 = 271659800, 1031331916 = 271659801, 2132231416 = 556933908, 2132231516 = 556933909, 2132231616 = 556933910, 2132231716 = 556933911, 2132231816 = 556933912, 2132231916 = 556933913, 3112331416 = 823276308, 3112331516 = 823276309, 3112331616 = 823276310, 3112331716 = 823276311, 3112331816 = 823276312, 3112331916 = 823276313, 3133141516 = 825431061, 3133141616 = 825431062, 3133141716 = 825431063, 3133141816 = 825431064, 3133141916 = 825431065, 3133151616 = 825431318, 3133151716 = 825431319, 3133151816 = 825431320, 3133151916 = 825431321, 3133161716 = 825431575, 3133161816 = 825431576, 3133161916 = 825431577, 3133171816 = 825431832, 3133171916 = 825431833, 3133181916 = 825432089

17

2217 = 36, 1021322317 = 413277262, 1031123317 = 414687310, 1031331417 = 414697392, 1031331517 = 414697393, 1031331617 = 414697394, 1031331717 = 414697395, 1031331817 = 414697396, 1031331917 = 414697397, 2132231417 = 849252242, 2132231517 = 849252243, 2132231617 = 849252244, 2132231717 = 849252245, 2132231817 = 849252246, 2132231917 = 849252247

18

2218 = 38, 1021322318 = 616122327, 1031123318 = 618000249, 1031331418 = 618012202, 1031331518 = 618012203, 1031331618 = 618012204, 1031331718 = 618012205, 1031331818 = 618012206, 1031331918 = 618012207

19

2219 = 40, D1FDG0H19 = 616122327, D2B2C0H19 = 618000249, D2B473019 = 618012202, D2B473119 = 618012203, D2B473219 = 618012204, D2B473319 = 618012205, D2B473419 = 618012206, D2B473519 = 618012207

20

2220 = 42

 

I minimi primi autodescrittivi in base 10 sono: 10153331, 10173133, 10233221, 10311533, 10322321, 12103331, 12163133, 12163331, 12193133, 12311933, 12313319, 15103133, 15233221, 15311633, 15331931, 15333119, 16153133, 16153331, 16173133, 16331531, 16331831.

Il minimo primo autodescrittivo in forma canonica è 21322319; il massimo con meno di 10 occorrenze di ogni cifra è 71322723161814151019.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

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