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Valore delle costanti di Grothendieck (problema del)

Analisi  Problemi 

Data una matrice n × n di numeri reali, i cui elementi ai,j soddisfino la disuguaglianza Condizione soddisfatta dagli elementi della matrice per tutti i numeri si, tj non superiori a 1 in valore assoluto, Alexander Grothendieck dimostrò nel 1953 che esiste una costante k(n) tale che per ogni coppia di vettori x, y con norma non superiore a 1 vale Proprietà della costante kR(n).

La costante di Grothendieck kR(n) è il minimo valore possibile per il quale valga la disuguaglianza, fissato n.

 

In modo analogo, utilizzando numeri complessi al posto di reali, sia per la matrice, che per i vari si, tj e per i vettori, si definiscono le costanti kC(n).

 

Tranne Valore di kR(2), i valori delle costanti sono però sconosciuti; si conoscono limiti superiori e inferiori solo per n ≤ 4, mostrati nella tabella seguente.

 

n

kR(n)

kC(n)

2

Valore di kR(2)

1.1526 ≤ kC(2) ≤ 1.2157

3

Valore di kR(3)

1.2108 ≤ kC(3) ≤ 1.2744

4

Valore di kR(4)

1.2413 ≤ kC(4) ≤ 1.3048

 

Le sequenze dei valori kR(n) e kC(n) sono crescenti, ma Grothendieck dimostrò che sono limitate e quindi esistono Definizione della costante di Grothendieck reale, detta “costante di Grothendieck reale” e Definizione della costante di Grothendieck complessa, detta “costante di Grothendieck complessa”, pur essendo il suo valore reale.

 

Anche queste costanti sono sconosciute.

Per quanto riguarda la costante reale, i migliori limiti si devono a J.-L. Krivine, che nel 1977 dimostrò che Limiti inferiore e superiore per il valore della costante di Grothendieck reale, e avanzò la congettura che il valore coincida con il limite superiore.

Per quanto riguarda la costante complessa, i migliori limiti sono Limiti inferiore e superiore per il valore della costante di Grothendieck complessa, dove k0 è la soluzione dell’equazione Equazione per la definizione di k0, che vale circa 0.8125578588.

 

U. Haagerup suggerì nel 1987 che il limite superiore può essere ridotto a Limite superiore per il valore della costante di Grothendieck complessa e che questo potrebbe essere il valore della costante di Grothendieck complessa.

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