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Smarandache (congetture sui numeri di)

Congetture  Rappresentazione dei numeri  Sequenze  Vari 

La sequenza di Smarandache S(n) si ottiene concatenando i numeri naturali in notazione decimale in ordine crescente: 1, 12, 123, 1234, ….

 

Una delle congetture più antiche è non esistano “primi di Smarandache”, che sarebbero i numeri primi contenuti nella sequenza.

La congettura è stata verificata per i primi 344869 termini, sfruttando tempo di calcolo messo a disposizione da appassionati in tutto il mondo (The Great Smarandache PRPrime search).

Alcune semplici considerazioni permettono di restringere l’esame a una minoranza dei termini della sequenza:

  • i termini con indice pari sono multipli di 2;

  • i termini con indice non della forma 3n + 1 sono multipli di 3;

  • i termini con indice multiplo di 5 sono multipli di 5;

Questo significa che potrebbero essere primi solo i termini con indice della forma 30n + 1, 30n + 7, 30n + 13 o 30n + 19.

Charles R. Greathouse IV condusse un interessante esperimento, esaminando i primi 1000 termini di sequenze analoghe, inizianti con i numeri da 1 a 100, invece che solo da 1. Trovò in tutto 110 numeri primi, mentre considerazioni statistiche indicano che dovrebbero essercene circa 111.07 e la differenza è ben entro i margini d’errore del modello semplificato adottato. Il perfetto accordo indica che che queste sequenze si comportano, almeno all’inizio, come previsto, ossia contengono tanti numeri primi quanti ci se ne aspetta da una distribuzione casuale. Il fatto che la sequenza di Smarandache originale non sembri contenerne è un’anomalia, che potrebbe derivare da qualche motivo profondo, tuttora non compreso.

Va però precisato che un semplice modello statistico prevede in media solo log(log(n)) / 2 primi nei primi n termini, ossia poco più di 1 nel primo milione di termini, e modelli più raffinati ne prevedono meno, quindi i dati attuali non danno indicazioni attendibili sulla congettura.

 

Basandosi sull’esame dei primi 2999 elementi della sequenza, Charles Asbacher avanzò nel 1998 la congettura che la sequenza non contenga alcun numero di Fibonacci o di Lucas (I), tranne 1 = F1 = F2 = L1 e 123 = L10.

 

Non si conoscono potenze con esponente maggiore di 1 nella sequenza Sp(n) = { 2, 24, 246, 2468, … }, formata concatenando i numeri pari; S.A. Smith avanzò nel 2000 la congettura che non ve ne siano.

Basandosi sull’esame dei primi 1999 elementi della sequenza, Charles Asbacher avanzò nel 1998 la congettura che la sequenza non contenga alcun numero di Fibonacci o di Lucas (I), tranne Sp(1) = 2 = F3 = L0.

 

H. Marimutha avanzò nel 1997 la congettura che la sequenza Sd(n) = { 1, 13, 135, 1357, 13579, … }, formata concatenando i numeri dispari, contenga infiniti numeri primi, tuttavia i primi noti in questa sequenza sono solo 6: Sd(2) = 13, Sd(10) = 135791113151719, Sd(16) = 135791113151719212325272931, Sd(34) = 135791113151719212325272931333537394143454749515355575961636567, Sd(49) = 135791113151719212325272931333537394143454749515355575961636567697173757779818385878991939597 e Sd(2570); non ve ne sono altri nei primi 37369 termini (Eric W. Weisstein, 2015);.

Basandosi sull’esame dei primi 2999 elementi della sequenza, Charles Asbacher avanzò nel 1998 la congettura che la sequenza non contenga alcun numero di Fibonacci o di Lucas (I), tranne Sd(1) = 1 = F1 = F2 = L1 e Sd(2) = 13 = F7.

 

Per quanto riguarda la sequenza inversa S’(n) = { 1, 21, 321, 4321, 54321, … }, nel 1998 R.W. Stephan scoprì che S’(82) è primo e avanzò la congettura che sia l’unico nella sequenza. Nel 2010 però E.W. Weisstein scoprì che anche S’(37765) è primo questo lascia pensare che potrebbero essercene altri.

 

Per quanto riguarda la sequenza inversa Sd(n) = { 1, 31, 531, 9531, 119531, … }, formata concatenando a sinistra i numeri dispari, ho avanzato la congettura che contenga infiniti primi, però gli unici noti sono: Sd(2) = 31, Sd(37) = 737169676563615957555351494745434139373533312927252321191715131197531, Sd(62) e Sd(409); non ve ne sono altri nei primi 2000 termini (M. Fiorentini, 2016).

 

Florentin Smarandache avanzò la congettura che nella sequenza 12, 1342, 135642, 13578462, .. nella quale il termine n-esimo è formato concatenando i numeri da 1 a 2n, prima i dispari in ordine crescente, poi i pari in ordine decrescente, non ci sia alcuna potenza.

La congettura è vera e la dimostrazione è elementare: il primo termine non è una potenza, i successivi finiscono con 42, quindi sono pari, ma non sono divisibili per 4; non possono quindi essere potenze con esponente maggiore di 1 di nessun numero pari.

Bibliografia

  • Majumdar, A.A.K.;  Wandering in the World of Smarandache Numbers, InProQuest, 2010 -

    Il libro contiene alcune dimostrazioni errate o lacunose.

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