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Valore della costante di Bloch (problema del)

Analisi  Problemi 

Data una funzione f complessa analitica, definita in una regione del piano complesso contenente almeno il disco D di raggio 1 centrato sull’origine, nulla nell’origine e con derivata uguale a 1 nell’origine, definiamo b(f) come l’estremo superiore di tutti i numeri r tali che la funzione contiene una regione S di D dove è uno a uno e f(S) contiene un cerchio di raggio r.

La costante di Bloch B è definita come l’estremo inferiore dei valori di b(f).

In altri termini, S è una regione contenuta in D nella quale la funzione produce valori diversi per argomenti diversi, b(f) è il raggio del massimo cerchio, privato della circonferenza, contenuto nell’immagine di S e B è il minimo possibile di tali massimi, considerando tutte le funzioni che abbiano le caratteristiche richieste.

Questo equivale a dire che per tutte le funzioni con tali caratteristiche, deve esserci almeno un cerchio, contenuto in D, nel quale producono valori diversi per argomenti diversi e B è il minimo possibile raggio di tali cerchi.

Nel 1925 André Bloch (Besançon, Francia, 20/11/1893 – Saint-Maurice, Francia, 11/10/1948) dimostrò che B esiste e trovò un limite inferiore per la costante, il valore della quale è però ancora sconosciuto, anche se l’intervallo dei possibili valori non è molto ampio: il miglior limite inferiore noto è Limite inferiore per il valore della costante di Bloch (H. Chen e P.M. Gauthier, 1996) e il miglior limite superiore è Limite superiore per il valore della costante di Bloch (Lars Valerian Ahlfors e Helmut Grunsky, 1937).

Vedi anche

Costante di Bloch.

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