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Valore della costante di Hayman – Stewart (problema del)

Analisi  Problemi 

Data una funzione f meromorfa, cioè analitica su tutto il piano complesso, tranne che in poli isolati, chiamiamo n(r, a) il numero di soluzioni dell’equazione f(z) = a entro un cerchio di raggio r centrato sull’origine e n(r) il massimo di n(r, a), vale a dire il numero di volte che la funzione assume il suo valore più frequente.

 

Il valore medio m(r) di n(r, a) è dato da Formula per il valore medio di n(r, a), dove z = x + iy; vale naturalmente n(r) ≥ m(r).

Sia m(r) che n(r) tendono a infinito al crescere di r, a meno che la funzione sia il quoziente di due polinomi.

 

W.K. Hayman e F.M. Stewart dimostrarono nel 1954 che Limite inferiore di n(r) / m(r) compreso tra 1 ed e per qualsiasi funzione f. Il massimo valore di tale rapporto è chiamato “costante di Hayman – Stewart” e il valore è tuttora sconosciuto.

 

Nel 1976 S. Toppila costruì una funzione per la quale tale rapporto è almeno Limite inferiore per il valore della costante di Hayman – Stewart e nel 1998 J. Miles dimostrò che il limite non supera e – 10–28 ≈ 2.7182818285 per qualsiasi funzione; al momento quindi questi sono i limiti entro i quali cercare il valore della costante.

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