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Rappresentazione dei numeri naturali come somma di numeri figurati (problema della)

Problemi  Teoria dei numeri 

Per ogni categoria di numeri figurati si pone il problema di quanti addendi servano per rappresentare i numeri naturali.

In generale i numeri da determinare sono due: quanti numeri della categoria servano per rappresentare qualsiasi intero e quanti ne servano per rappresentare qualsiasi intero abbastanza grande. La seconda parte è spesso molto più difficile della prima.

 

Nonostante i numeri figurati siano valori di semplici polinomi, il problema è stato risolto solo in pochi casi.

 

La prima parte è stata risolta solo per i numeri poligonali, inclusi numeri triangolari e quadrati, per i numeri poligonali centrati, i numeri stellari, i cubi e i biquadrati (v. problema di Waring).

 

La seconda parte è stata risolta solo per i numeri poligonali, esclusi i numeri pentagonali, i numeri stellari e i biquadrati.

 

In tutti gli altri casi sono noti limiti superiori e inferiori e vi sono numerose congetture, generalmente ritenute valide, sul valore corretto, ma dimostrarne la validità sembra assai arduo.

 

Il problema diviene estremamente complesso se si accettano addendi di categorie differenti; sono stati risolti solo alcuni casi, coinvolgenti potenze, numeri poligonali e numeri poligonali centrati.

Vedi anche

Numeri figurati.

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