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Piramidali centrati (numeri)

Numeri figurati 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Espressione di interi come somma di numeri piramidali centrati

Sono chiamati “piramidali centrati” i numeri di palline che si possono disporre a formare una piramide di strati di poligoni centrati con lo stesso numero di lati, uno sull’altro, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri piramidali centrati

 

La piramide però è instabile quale che sia il poligono usato, perché ogni pallina è appoggiata direttamente sopra una dello strato inferiore.

 

Un numero piramidale centrato è quindi un numero figurato, uguale alla somma di numeri poligonali centrati consecutivi dello stesso genere a partire da 1.

 

Tre casi particolari sono:

 

L’n-esimo numero piramidale centrato di ordine p (cioè con strati p-gonali centrati) è dato dalla formula Formula per il calcolo dei numeri piramidali centrati, dove Numero p-gonale centrato è l’n-esimo numero p-gonale centrato.

 

Ogni numero piramidale centrato di ordine p può essere espresso come somma di p numeri tetraedrici: Pp(n) = Tn + (p – 2)Tn – 1 + Tn – 2, dove Tn è l’n-esimo numero tetraedrico.

 

Per numeri piramidali centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Per le somme dei numeri piramidali centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri piramidali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati, per p diverso da 6;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati, per p diverso da 6;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati, per p diverso da 6.

 

Le tabelle seguenti mostrano le somme dei reciproci dei numeri piramidali centrati e delle loro potenze fino all’ordine 10 e alla quinta potenza.

p

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati

3

ψ(1 + i) + ψ (1 – i) + 2 γ ≈ 1.3437319710

4

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 4

5

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 5

6

ζ(3) ≈ 1.2020569032

7

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 7

8

6log2 – 3 ≈ 1.1588830834

9

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 9

10

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 10

 

p

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati

3

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 3

4

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 4

5

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 5

6

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 6

7

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 7

8

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 8

9

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 9

10

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 10

 

p

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati

3

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 3

4

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 4

5

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 5

6

ζ(9) ≈ 1.0020083928

7

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 7

8

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 8

9

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 9

10

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 10

 

p

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati

3

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 3

4

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 4

5

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 5

6

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 6

7

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 7

8

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 8

9

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 9

10

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 10

 

p

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati

3

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 3

4

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 4

5

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 5

6

ζ(15) ≈ 1.0000305882

7

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 7

8

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 8

9

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 9

10

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 10

 

Le somme a segni alternati dei reciproci dei numeri piramidali centrati e delle loro potenze non si possono esprimere con una formula generale in termini di funzioni elementari, però una rappresentazione del genere esiste per ogni numero di lati fissato.

Le tabelle seguenti mostrano le somme a segni alternati dei reciproci dei numeri piramidali e delle loro potenze fino all’ordine 10 e alla quinta potenza.

p

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati a segni alternati

3

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 3 a segni alternati

4

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 4 a segni alternati

5

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 5 a segni alternati

6

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 6 a segni alternati

7

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 7 a segni alternati

8

3log2 – 3 ≈ –0.9205584583

9

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 9 a segni alternati

10

Somma dei reciproci dei numeri piramidali centrati di ordine 10 a segni alternati

 

p

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati a segni alternati

3

–0.9637576009

4

–0.9745803107

5

–0.9812078942

6

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 6 a segni alternati

7

–0.9885483576

8

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali centrati di ordine 8 a segni alternati

9

–0.9923020111

10

–0.9935220081

 

p

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati a segni alternati

3

–0.9922739078

4

–0.9955057946

5

–0.9971611149

6

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 6 a segni alternati

7

–0.9986596343

8

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali centrati di ordine 8 a segni alternati, dove C è la costante di Catalan

9

–0.9992644728

10

–0.9994330829

 

p

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati a segni alternati

3

–0.9984190551

4

–0.9992358189

5

–0.9995869701

6

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 6 a segni alternati

7

–0.9998486357

8

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 8 a segni alternati

9

–0.9999321189

10

–0.9999520592

 

p

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati a segni alternati

3

–0.9996812957

4

–0.9998717972

5

–0.9999406542

6

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 6 a segni alternati

7

–0.9999830994

8

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali centrati di ordine 8 a segni alternati, dove C è la costante di Catalan

9

–0.9999938017

10

–0.9999959879

 

La funzione generatrice dei numeri piramidali centrati è Funzione generatrice dei numeri piramidali centrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri piramidali centrati.

 

La tabella seguente mostra i numeri piramidali centrati per p fino a 10 e n fino a 20.

n \ p

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

5

6

7

8

9

10

11

12

3

15

19

23

27

31

35

39

43

4

34

44

54

64

74

84

94

104

5

65

85

105

125

145

165

185

205

6

111

146

181

216

251

286

321

356

7

175

231

287

343

399

455

511

567

8

260

344

428

512

596

680

764

848

9

369

489

609

729

849

969

1089

1209

10

505

670

835

1000

1165

1330

1495

1660

11

671

891

1111

1331

1551

1771

1991

2211

12

870

1156

1442

1728

2014

2300

2586

2872

13

1105

1469

1833

2197

2561

2925

3289

3653

14

1379

1834

2289

2744

3199

3654

4109

4564

15

1695

2255

2815

3375

3935

4495

5055

5615

16

2056

2736

3416

4096

4776

5456

6136

6816

17

2465

3281

4097

4913

5729

6545

7361

8177

18

2925

3894

4863

5832

6801

7770

8739

9708

19

3439

4579

5719

6859

7999

9139

10279

11419

20

4010

5340

6670

8000

9330

10660

11990

13320

 

I numeri piramidali centrati primi sono complessivamente infiniti, ma per ogni valore fissato di p sono al massimo 3, perché sono di una delle seguenti forme:

  • Pp – 2(2), per p primo;

  • Forma di numeri piramidali centrati primi, per p primo della forma 4k + 3;

  • Forma di numeri piramidali centrati primi, per p primo della forma 35k + 6.

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