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Poligono di area massima (problema del)

Geometria  Problemi 

Si definisce come “diametro” di una figura la massima distanza tra due suoi punti.

 

La figura piana con area massima a parità di diametro è il cerchio, ma qual è il poligono di area massima, a parità di lati?

Per rendere massima l’area, il poligono deve essere convesso e il diametro di un poligono è determinato dalla massima distanza tra i vertici, quindi il problema può essere riformulato in questi termini: qual e il poligono convesso a n lati con distanza tra i vertici non superiore a 1 di area massima?

Nonostante il problema sia molto antico, la soluzione completa è stata trovata in tempi relativamente recenti.

 

Karl August Reinhardt (Francoforte sul Meno, 27/1/1895 – Berlino, 27/4/1941) dimostrò nel 1922 che nel caso di un numero n dispari di lati l’area massima è quella dell’n-agono regolare e che la soluzione è unica.

 

Per n = 4 l’area massima è quella del quadrato, vale a dire 1 / 2, ma la soluzione non è unica: esistono infiniti quadrilateri con la stessa area: tutti i quadrilateri convessi con diagonali perpendicolari lunghe 1.

 

Per n = 6 Ronald L. Graham dimostrò nel 1975 che l’esagono di area massima non è regolare e che la sua area è circa 0.6749814429, detta “costante dell’esagono di Graham”.

 

Nel 2002 Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, e Junjie Xiong dimostrarono che la soluzione ottimale per un poligono a 8 lati è un ettagono regolare, unito per un lato alla base di un triangolo ottusangolo isoscele.

 

Finalmente nel 2007 Jim Foster e Tamas Szabo dimostrarono che, come aveva supposto Graham, per un numero di lati n pari e maggiore di 6 l’area massima è quella di un poligono regolare di n – 1 lati, uno dei quali unito a un triangolo ottusangolo isoscele.

 

Per altre informazioni v. costante dell’esagono di Graham.

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