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Lieto fine (problema del)

Geometria  Problemi  Vari 

Il problema del lieto fine merita il suo nome perché almeno due coppie di matematici si sono sposate dopo aver lavorato su di esso.

 

Paul Erdös e George Szekeres dimostrarono che per un qualsiasi numero n > 2, esiste un numero g(n) tale che un insieme di punti del piano costituito almeno da g(n) punti, tali che non ve ne siano 3 sulla stessa retta, deve per forza comprendere un sottoinsieme di n, che siano ai vertici di un n-agono convesso.

Il problema consiste nel determinare g(n).

 

Al momento si sa che Limiti inferiore e superiore per g(n), ma il valore di g(n) è noto solo in 4 casi:

  • è ovvio che g(3) = 3;

  • Esther Klein dimostrò negli anni ’30 che g(4) = 5;

  • Esther Klein dimostrò nel 1935 che g(5) > 8 e poco dopo Endre Makai dimostrò che g(5) = 9;

  • nel 2006 L. Peters e Szekeres dimostrarono che g(6) = 17.

 

Il problema è in un certo senso più semplice se si ricerca il minimo numero di punti tra i quali se ne possano sempre scegliere n per formare un n-agono convesso e vuoto, cioè che non contenga altri punti dell’insieme. Più semplice, perché la ricerca è limitata ai primi valori di n: nel 1983, infatti, J.D. Horton costruì insiemi con un numero grande a piacere di punti che non possono costituire ettagoni convessi e vuoti; vale a dire che in tali insiemi ogni sottoinsieme di 7 (o più) punti costituisce i vertici di un poligono che o non è convesso, o non è vuoto.

Dato che 3 punti qualsiasi costituiscono i vertici di un triangolo vuoto, il problema si pone solo per n = 4, 5 e 6, vale a dire per quadrilateri, pentagoni ed esagoni.

E’ facile vedere che bastano 5 punti per un quadrilatero e H. Harboth dimostrò nel 1978 che bastano 10 punti per un pentagono.

Il problema resta aperto solo per l’esagono, per il quale si sa che il numero di punti è maggiore di 29 (Mark Overmars, 2003) e non superiore a 1718 (Tobias Gerken, 2008).

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