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Esistenza della costante di Erdös degli insiemi a somme distinte (problema della)

Problemi  Teoria dei numeri 

Un insieme di interi positivi si dice “a somme distinte” se tutte le somme degli elementi dei suoi sottoinsiemi sono diverse o, in modo equivalente, se le somme di elementi, senza ripetizioni, sono tutte diverse.

 

Erdös considerando sequenze di interi a somme distinte si chiese quale potesse essere il minimo rapporto α(n) = a(n) / 2^n per qualsiasi sequenza di n interi aventi come massimo an, ovvero quanto potesse essere reso piccolo il massimo elemento dell’insieme, e arrivò nel 1931 a supporre che esista un limite inferiore non nullo ai possibili valori di αn: tale limite si chiama “costante di Erdös degli insiemi a somme distinte”.

 

I problemi connessi con la costante sono in realtà due: dimostrare l’esistenza di un limite inferiore e trovarne il valore.

 

A.M Gleason e N.D. Elkies, dimostrarono che α(n) ≥ 1 / sqrt(n), ma nessuno ha ancora scoperto se α = inf αn sia maggiore di zero, ossia se aumentando il numero di elementi nell’insieme si possa ridurre a piacere αn.

 

J.H. Conway e R.C. Guy definirono una sequenza un tale che Limite per n tendente a infinito di u(n) / 2^n circa uguale a 0.2351252848 e T. Bohman nel 1997 ridusse ulteriormente il rapporto a 0.22002, che al momento è il limite superiore per la costante.

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