Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

I numeri belgi, detti anche numeri di Eric dal nome di Eric Angelini, matematico italiano che vive in Belgio, che per primo se ne occupò, sono i numeri contenuti nelle sequenze ottenute sommando ciclicamente le cifre del numero stesso.

Per esempio, 176 è un numero belga perché partendo da 0 e sommando ciclicamente 1, 7 e 6 otteniamo la sequenza 0, 1, 8, 14, 15, 22, 28, 29, 36, 42, 43, 50, 56, 57, 64, 70, 71, 78, 84, 85, 92, 98, 99, 106, 112, 113, 120, 126, 127, 134, 140, 141, 148, 154, 155, 162, 168, 169, 176… e la sequenza contiene il 176 stesso.

 

I numeri così ottenuti si chiamano numeri belgi-0, perché la sequenza inizia da zero; iniziando dalle altre cifre tra 0 e 9 otteniamo altrettanti tipi di numeri belgi.

 

La tabella seguente riporta i primi esemplari di ogni categoria.

Categoria

Numeri

belgi-0

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 30, 31, 33, 35, 36, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 53, 54, 55, 60, 62, 63, 66, 70, 71, 72, 77, 80, 81, 84, 88, 90, 93, 99, 100, 101, 102, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120

belgi-1

1, 10, 11, 13, 16, 17, 21, 23, 41, 43, 56, 58, 74, 81, 91, 97, 100, 101, 106, 110, 111, 113, 115, 121, 122, 130, 131, 137, 142, 155, 157, 161, 170, 171, 172, 178, 179, 181, 184, 188, 193, 201

belgi-2

2, 10, 11, 12, 15, 16, 20, 22, 25, 26, 32, 38, 41, 42, 46, 67, 72, 82, 86, 91, 95, 100, 101, 102, 103, 105, 107, 110, 111, 112, 113, 115, 116, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 130, 131, 132, 134, 136, 138, 142, 143

belgi-3

3, 10, 11, 12, 14, 15, 21, 23, 30, 31, 33, 34, 35, 39, 47, 51, 52, 59, 63, 69, 73, 75, 78, 94, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 107, 110, 111, 112, 113, 115, 116, 120, 123, 133, 141, 146, 147, 151, 153, 154, 158, 159, 163, 164, 166, 168, 183, 185, 191, 196

belgi-4

4, 10, 11, 13, 14, 20, 21, 22, 24, 25, 31, 32, 37, 40, 43, 44, 51, 54, 57, 64, 65, 76, 82, 84, 87, 89, 92, 98, 100, 101, 104, 110, 111, 112, 114, 116, 121, 122, 124, 125, 127, 128, 137, 140, 141, 142, 144, 145, 148, 149, 151, 154, 158, 172, 177, 191, 196

belgi-5

5, 10, 11, 12, 13, 29, 38, 45, 50, 52, 53, 55, 61, 100, 101, 102, 110, 111, 114, 120, 121, 124, 125, 130, 131, 132, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 145, 148, 150, 151, 160, 174, 175, 182, 186, 191, 195, 211

belgi-6

6, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 30, 33, 34, 36, 41, 42, 46, 49, 58, 60, 61, 62, 66, 68, 73, 83, 92, 96, 100, 101, 102, 103, 110, 111, 112, 113, 114, 118, 120, 121, 122, 123, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 136, 138, 143, 150, 155, 156

belgi-7

7, 10, 11, 21, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 56, 70, 71, 77, 85, 94, 100, 101, 103, 106, 110, 111, 112, 113, 117, 118, 119, 122, 127, 128, 131, 133, 143, 152, 173, 176, 201, 205

belgi-8

8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 26, 28, 31, 35, 40, 42, 43, 44, 48, 53, 62, 64, 71, 74, 75, 79, 80, 86, 88, 97, 100, 101, 102, 104, 105, 106, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 115, 117, 118, 119, 120, 121, 123, 126, 129, 132, 135, 139, 141, 142, 144

belgi-9

9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 25, 27, 30, 32, 33, 36, 45, 51, 54, 57, 63, 67, 69, 72, 81, 83, 90, 93, 99, 100, 101, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 115, 117, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 126, 129, 130, 135, 139, 140, 141, 142, 144, 146, 149, 153

Il punto di partenza delle sequenze può essere al massimo 9, altrimenti tutti gli interi apparterrebbero almeno a una sequenza, quella che inizia col numero stesso.

 

Ogni intero divisibile per la somma delle sue cifre, come 48, multiplo di 4 + 8 = 12, è belga-0.

Ogni intero n di una sola cifra è belga-n, mentre 10 e 11 e più in generale tutti i numeri maggiori di 9 e formati da una sequenza di 1 e 0, come 1001, appartengono a tutte le categorie, che pertanto contengono infiniti numeri.

 

Questi numeri sono tanto comuni, che viene da chiedersi se esistano numeri non belgi; la risposta è no: se la somma delle cifre di n è s, calcolando i primi termini della sequenza che inizia con 0 a un certo si raggiunge n mod s o lo si supera; nel primo caso, il numero è belga-0, altrimenti, se m è il precedente termine della sequenza, la differenza d = (n mod s) – m è di una sola cifra e sommando d alla sequenza un termine diviene uguale a n mod s. A questo punto le ulteriori somme provocheranno il raggiungimento di n mod s + s, n mod s + 2s e così via, sino a raggiungere n. Per esempio, per n = 1949, s = 23 e n mod s = 17. La sequenza che inizia da 0 è: 0, 1, 10, 14, 23 …; il massimo termine inferiore a 17 è 14, quindi 797 è belga-3. Infatti, iniziando con 3 la sequenza diviene: 3, 4, 13, 17 e da questo punto a ogni termini si somma 23, quindi si raggiunge ogni numero della forma 17 + 23k, incluso n.

In modo analogo si dimostra che ogni numero belga-0 è anche belga-k, per almeno un altro valore di n.

Il punto di partenza delle sequenze può essere al massimo 9, altrimenti tutti gli interi apparterrebbero almeno a una sequenza, quella che inizia col numero stesso.

 

I numeri belgi-k hanno una densità positiva per ogni k, ovvero, il rapporto tra i numeri belgi-k minori di n e n non scende mai al di sotto di un limite positivo.

Per dimostrarlo prendiamo un numero che finisca per 0: o è belga-k, o da esso si può ricavare un numero belga-k modificando due sole cifre. Infatti se non è belga-k, significa che a un certo punto sommando una cifra m si supera n di un valore d (minore di m); riduciamo allora tale cifra di md e modifichiamo lo zero finale in md (che è sempre un numero di una sola cifra). Il numero così ottenuto è belga-k, perché la somma delle cifre è invariata, ma ora a un certo punto nella sequenza otterremo n. Pertanto almeno un numero su 100 è belga-k, per ogni k.

 

Angelini definì anche due ulteriori categorie di numeri che ha chiamato auto-belgi. I numeri auto-belgi del primo tipo, sono i numeri belgi-n, dove n è la prima cifra; per esempio, 39 appartiene a questa categoria, perché è un numero belga-3.

I primi sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 20, 22, 25, 26, 30, 31, 33, 34, 35, 39, 40, 43, 44, 50, 52, 53, 55, 60, 61, 62, 66, 68, 70, 71, 77, 80, 86, 88, 90, 93, 99, 100, 101, 106, 110, 111, 113, 115, 121, 122, 130, 131, 137, 142, 155, 157, 161, 170, 171, 172, 178, 179, 181, 184, 188, 193, 201.

 

Anche questa categoria contiene tutti i numeri formati da una sequenza di 1 e 0, quindi infiniti numeri.

 

I numeri auto-belgi del secondo tipo sono numeri belgi del primo tipo, che contengono il numero come concatenazione delle cifre iniziali della sequenza.

Per esempio, 8161 è di questo tipo perché è auto-belga del primo tipo, la sequenza inizia con 8, 16, 17, 23 … e le prime cifre riproducono appunto 8161.

 

Questi sono molto più rari; i primi sono: 61, 71, 918, 3612, 5101, 8161, 12481, 51011, 248161, 361213, 5101111, 7141519, 8161723, 481617232, 2481617232, 4816172324, 5101111121, 24816172324, 51011111213, 71415192025, 612131516192, 816172324313, 3612131516192, 5101111121314, 6121315161920, 9181927283739.

 

Per un numero di cifre fissato ve ne possono essere al massimo 9, ma questo capita molto di rado: sono noti solo gli esempi con una cifra e con 1899283 cifre (Hans Havermann, 2011).

 

Non è noto se siano infiniti o meno. Hans Havermann ha tabulato tutte le soluzioni sino a 1899283 cifre, trovando 3594736 soluzioni, in media poco meno di due per ogni numero di cifre, senza che il rapporto accenni a calare. Si può quindi supporre che i numeri di questo tipo minori di n tendano a Klog10n, con K di poco inferiore a 2.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

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