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Tait sui nodi (congetture di)

Congetture  Matematica combinatoria  Vari 

Nel 1884 P.G. Tait avanzò quattro congetture sui nodi. Non è chiaro se credesse che tutti i nodi siano alternanti o meno, perché ai suoi tempi erano noti solo nodi alternanti.

 

La prima è che per un nodo alternante i diagrammi alternanti, privati degli eventuali incroci banali come mostrato nella figura seguente, hanno il minimo numero possibile di incroci.

 

Eliminazione di un incrocio banale

 

Ribaltando verticalmente una delle due parti del nodo, indicata dal disco colorato con la freccia verticale, si elimina un incrocio.

 

La seconda è che in tali diagrammi la differenza tra il numero di incroci “destri” e il numero di incroci “sinistri” è invariante, ossia che è invariante il numero di contorsioni (v. numeri di nodi).

 

La terza è che due diagrammi alternanti rappresentano lo stesso nodo se e solo se si può passare dall’uno all’altro tramite una sequenza di trasformazioni come quella mostrata di seguito (dette “flype”).

 

Trasformazione di un nodo

 

Il disco colorato con la freccia verticale indica una qualsiasi configurazione che viene ribaltata verticalmente, senza subire altre deformazioni.

La manovra descritta non modifica il numero di contorsioni, quindi questa congettura implica la seconda.

 

La quarta è che i nodi ambichirali hanno un numero di incroci pari; per i nodi alternanti questa congettura è conseguenza della seconda.

 

Le congetture furono dimostrate vere per i nodi alternanti, grazie ai lavori di L.H. Kauffman, 1990, K. Murasugi, 1987 e M.B. Thistlethwaithe, 1990. W.W. Menasco e M.B. Thistlethwaithe, 1991.

 

Seconda e quarta congettura non sono invece vere per i nodi non alternanti.

La seconda fu smentita dalla scoperta da parte di H.A. Perko Jr. nel 1974 di due diagrammi con differenti numeri di contorsioni, che rappresentano lo stesso nodo con 10 incroci; i due diagrammi erano stati a lungo riportati nelle tabelle come rappresentanti due nodi diversi.

La quarta congettura fu smentita dalla scoperta da parte di J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks di un nodo ambichirale primo con 15 incroci nel 1998; gli stessi ricercatori mostrarono che non ne esistono con un numero dispari minore.

A. Stoimenov nel 2008 dimostrò che per ogni numero dispari n ≥ 15 esistono nodi ambichirali con n incroci.

Vedi anche

Numeri di nodi.

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