Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Super iperperfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

I numeri super k-iperperfetti sono definiti come i numeri k-iperperfetti, sostituendo σ(σ(n)) a σ(n) nella definizione. Sono quindi i numeri naturali n tali che Formula per la definizione dei numeri super iperperfetti.

Per k = 1 abbiamo i numeri superperfetti.

 

Se p(3^p – 1) / 2 sono primi, 3p – 1 è super 2-iperperfetto. I numeri primi p noti che soddisfano la condizione sono: 3, 7, 12, 541, 1091, 1627, 4177, 9010, 9550 (Antal Bege e Kinga Fogarasi, 2009).

I primi numeri super 2-iperperfetti di questa forma sono: 9, 729, 531441, 442056263647878957821127900999836335570310425269827198115045189473082344227760158933673525668975338961157901412814000000200735271965446265605343097209584105500993427737744352059172709996940408510529307001071273723660057559928705727376060827503888138602538801.

E’ possibile che tutti i numeri super 2-iperperfetti siano di questa forma; si tratta di una congettura analoga a quella di McCranie.

 

Se p e p2 + p + 1 sono primi, p2 è super (p – 1)-iperperfetto. Infatti in tal caso Valore di σ(σ(p^2)).

Più in generale, se pSomma delle potenze di p da 1 a p^n sono primi, pn è super (p – 1)-iperperfetto (M. Fiorentini, 2016). Infatti in tal caso Valore di σ(σ(p^n)).

Per p primo dispari n dev’essere pari, ma non della forma 6m + 2, perché in tal caso Somma delle potenze di p da 1 a p^n è multiplo di p2 + p + 1, mentre per p = 2 abbiamo i numeri superperfetti.

Ho avanzato la congettura che tutti i numeri super k-iperperfetti per k > 2 siano di questa forma; se vi sono eccezioni, sono maggiori di 109.

 

La tabella seguente riporta i primi tali che Somma delle potenze di p da 1 a p^n sia primo inferiori a 1000, per n pari fino a 20.

n

Primi

2

2, 3, 5, 17, 41, 59, 71, 89, 101, 131, 167, 173, 293, 383, 677, 701, 743, 761, 773, 827, 839, 857, 911

4

2, 7, 13, 17, 23, 29, 43, 73, 79, 83, 127, 193, 227, 239, 263, 277, 337, 359, 373, 397, 439, 457, 479, 503, 557, 563, 617, 919, 967

6

2, 3, 5, 13, 17, 31, 61, 73, 89, 149, 163, 251, 349, 353, 461, 523, 599, 647, 863, 941, 947

8

Nessuno

10

5, 17, 53, 137, 229, 389, 467, 619, 709, 787

12

2, 3, 5, 7, 37, 43, 59, 149, 151, 251, 373, 397, 643, 769, 853

14

Nessuno

16

2, 11, 31, 97, 107, 109, 149, 157, 181, 191, 241, 251, 349, 379, 383, 419, 431, 557, 571, 599, 653, 709

18

2, 11, 19, 67, 103, 137, 167, 179, 181, 263, 277, 337, 389, 431, 449, 509, 521, 523, 547, 673, 787, 797, 811, 857, 971

20

Nessuno

 

Secondo la congettura di Bateman – Horn, i primi di questo genere sarebbero infiniti per quasi molti valori pari di n, quindi esisterebbero infiniti numeri super iperperfetti.

 

La tabella seguente riporta i numeri super k-iperperfetti inferiori a 106 (M. Fiorentini, 2016).

n

k

2

1

4

1

9

2

16

1

25

4

64

1

289

16

729

2

1681

40

2401

6

3481

58

4096

1

5041

70

7921

88

10201

100

15625

4

17161

130

27889

166

28561

12

29929

172

65536

1

83521

16

85849

292

146689

382

262144

1

279841

22

458329

676

491401

700

531441

2

552049

742

579121

760

597529

772

683929

826

703921

838

707281

28

734449

856

829921

910

 

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.