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Superperfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

I numeri superperfetti sono definiti in modo analogo ai numeri perfetti, iterando la somma dei divisori.

I numeri perfetti, infatti, sono le soluzioni dell’equazione σ(n) = 2n e i superperfetti sono le soluzioni dell’equazione σ(σ(n)) = 2n.

 

E’ facile vedere che sono superperfetti tutti gli interi della forma 2p – 1, dove 2p – 1 è un primo di Mersenne, perché in tal caso σ(σ(n)) = σ(σ(2p – 1)) = σ(2p – 1) = 2p = 2n.

D. Suryanarayana e H.-J. Kanold dimostrarono nel 1969 che tutti i superperfetti pari sono di questa forma e avanzarono dubbi sull’esistenza di superperfetti dispari.

Gli stessi due matematici dimostrarono che eventuali superperfetti dispari sono quadrati, e Suryanarayana dimostrò che non sono potenze di primi dispari.

G.G. Dandapat, J.L. Hunsucker e Carl Pomerance dimostrarono nel 1975 che se n è un numero superperfetto dispari:

  • n o σ(n) devono avere almeno tre fattori primi distinti;

  • n né σ(n) sono potenze di primi;

  • il numero di fattori primi distinti di nσ(n) dev’essere almeno 5;

  • la somma del numero di fattori primi distinti di n e quello di σ(n) dev’essere almeno 7;

  • n dev’essere maggiore di 7 • 1024.

 

I numeri superperfetti minori di 109 sono: 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144.

 

Florian Luca e Juan Luis Varona dimostrarono nel 2008 che:

 

La definizione si può generalizzare definendo σm(n) come l’applicazione ripetuta m volte della funzione σ; è però poco probabile che esistano numeri tali che σm(n) = 2n per m > 2; in particolare, Dieter Bode dimostrò che non esistono numeri pari del genere e McCranie che se ne esistono di dispari, sono maggiori di 4.29 • 109.

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