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Super-d (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “numeri super-d” i numeri naturali n tali che dnd contenga d cifre d consecutive nella rappresentazione decimale. Per esempio, 261 è super-3, perché 3 • 2613 = 53338743 contiene tre 3 consecutivi.

Non esistono numeri super-0 e i numeri super-1 sono banalmente tutti quelli che contengono un 1 nella loro rappresentazione decimale.

 

Se per un valore di d vi è un numero super-d, ve ne sono infiniti, perché se n è super-d, lo è anche 10kn, per qualsiasi valore intero positivo di k, inoltre m10k + n è super-d per qualsiasi valore di m e k maggiore del numero di cifre dalla prima delle d cifre d consecutive all’ultima del numero, (alla peggio tale che 10k > dnd), perché contiene dnd tra le sue cifre finali. Per esempio, 1168 è super-4, perché 4 • 11684 = 7444428488704; vi sono 12 cifre tra il primo 4 e l’ultima cifra del numero e m10k + 1168 è super-4 per qualsiasi valore di m e k ≥ 12.

 

A. Anderson ha dimostrato che tutti i numeri che finiscono con 471, eventualmente seguito da un qualsiasi numero di zeri, sono super-3.

 

La tabella seguente mostra i primi numeri super-d, per d da 2 a 9 (Harvey P. Dale, Patrick De Geest e Vincenzo Librandi, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

d

Numeri super-d

2

19, 31, 69, 81, 105, 106, 107, 119, 127, 131, 169, 181, 190, 219, 231, 247, 269, 281, 310, 318, 319, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 348, 369, 381, 419, 431, 454, 469, 481, 511, 519, 531, 558, 569, 581, 601, 619, 631, 669, 679, 681, 690, 715, 719, 731, 739, 749, 769, 781, 782, 783, 784, 810, 819, 831, 869, 881, 919, 928, 931, 944, 969, 981, 988

3

261, 462, 471, 481, 558, 753, 1036, 1046, 1471, 1645, 1752, 1848, 1923, 1926, 1968, 2031, 2231, 2232, 2363, 2395, 2471, 2591, 2610, 3058, 3087, 3148, 3163, 3172, 3181, 3471, 3494, 3542, 3851, 3884, 4143, 4269, 4314, 4471, 4527, 4554, 4620, 4710, 4732, 4794, 4806, 4807, 4808, 4809, 4810

4

1168, 4972, 7423, 7752, 8431, 10267, 11317, 11487, 11549, 11680, 16588, 16664, 16837, 18257, 18597, 19784, 19933, 22217, 22504, 22819, 22829, 24078, 24331, 24514, 25296, 25698, 26685, 26738, 27812, 27973, 28988, 32466, 32467, 32735

5

4602, 5517, 7539, 12955, 14555, 20137, 20379, 26629, 32767, 35689, 35825, 37706, 46020, 46715, 51988, 55170, 66344, 73338, 73974, 75390, 76157, 86025, 91497, 105852, 114488, 129550, 132234, 145550, 146399, 158651, 160897, 171673, 174782

6

27257, 272570, 302693, 323576, 364509, 502785, 513675, 537771, 676657, 678146, 731378, 831122, 836553, 913797, 920456, 921269, 1045361, 1144983, 1169054, 1283069, 1288697, 1292673, 1343642, 1346117, 1472078, 1523993, 1640026

7

140997, 490996, 1184321, 1259609, 1409970, 1783166, 1886654, 1977538, 2457756, 2714763, 2750425, 2980991, 3043607, 3283057, 3689639, 4191601, 4258476, 4642725, 4909960, 4973029, 5242829, 5349973, 5444788, 5523544, 5682065

8

185423, 641519, 1551728, 1854230, 6415190, 12043464, 12147605, 15517280, 16561735, 18542300, 26908132, 29242698, 33491333, 34982204, 35866945, 37584428, 44263715, 45980752, 54555936, 56148739, 60883944, 64151900

9

17546133, 32613656, 93568867, 107225764, 109255734, 113315082, 121251742, 175461330, 180917907, 182557181, 190215626, 227366552, 267791979, 297981691, 298002027, 301321202, 321541434, 326136560, 326687646, 329178946, 351038353

 

La tabella seguente mostra il minimo numero primo super-d, per d da 2 a 9 (Harvey P. Dale, Patrick De Geest e Vincenzo Librandi, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

d

Minimo primo super-d

2

19

3

1471

4

8431

5

76157

6

1283069

7

4973029

8

641519

9

182557181

 

La tabella seguente mostra i numeri super-d palindromi noti, per d da 2 a 9 (Harvey P. Dale e Patrick De Geest, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

d

Numeri super-d palindromi

2

131, 181, 333, 454, 919, 969, 1331, 1881, 3333, 6556, 9119, 9669, 10301, 10501, 10601, 10701, 13031, 13131, 13231, 13331, 13431, 13531, 13631, 13731, 13831, 13931, 14541, 16161, 16761, 18081, 18181, 18281, 18381, 18481, 18581, 18681, 18781, 18881, 18981, 21512, 24442, 24742, 28482, 29692, 33233, 33333, 33433, 33533, 33633, 33733, 33833, 35653, 37373, 45454, 45954, 46164, 47074, 48384, 49894, 50105, 50805, 51115, 53035, 56965, 57975, 59895, 60106, 63336, 64146, 64546, 67176, 71217, 71317, 71517, 72627, 74747, 78187, 78287, 78387, 79697, 79797, 80908, 81318, 81618, 82228, 84348, 86668, 88488, 88688, 91019, 91119, 91219, 91319, 91419, 91519, 91619, 91719, 91819, 91919, 93239, 94449, 95459, 96069, 96169, 96269, 96369, 96469, 96569, 96669, 96769, 96869, 96969, 97579, 99099, 99399, 105501, 106601, 115511, 130031, 131131, 132231, 133331, 134431, 135531, 136631, 137731, 138831, 139931, 140041, 154451, 155551, 171171, 180081, 181181, 182281, 183381, 184481, 185581, 186681, 187781, 188881, 189981, 190091, 219912, 247742, 266662, 292292, 296692, 304403, 307703, 310013, 321123, 332233, 333333, 334433, 335533, 336633, 337733, 338833, 346643, 382283, 410014, 437734, 469964, 486684, 495594, 501105, 511115, 541145, 557755, 558855, 562265, 566665, 601106, 604406, 630036, 633336, 638836, 641146, 648846, 667766, 713317, 722227, 731137, 738837, 773377, 778877, 781187, 782287, 783387, 796697, 810018, 813318, 843348, 861168, 862268, 866668, 871178, 879978, 882288, 885588, 898898, 910019, 911119, 912219, 913319, 914419, 915519, 916619, 917719, 918819, 919919, 928829, 933339, 941149, 945549, 946649, 950059, 960069, 961169, 962269, 963369, 964469, 965569, 966669, 967769, 968869, 969969, 984489, 994499, 1003001, 1016101, 1049401, 1050501, 1051501, 1052501, 1053501, 1054501, 1055501, 1056501, 1057501, 1058501, 1059501, 1060601, 1061601, 1062601, 1063601, 1064601, 1065601, 1066601, 1067601, 1068601, 1069601, 1070701, 1071701, 1077701, 1086801, 1087801, 1103011, 1108011, 1121211, 1134311, 1149411, 1150511, 1155511, 1185811, 1205021, 1223221, 1241421, 1249421, 1269621, 1270721, 1288821, 1295921, 1300031, 1301031, 1302031, 1303031, 1304031, 1305031, 1306031, 1307031, 1308031, 1309031, 1310131, 1311131, 1312131, 1313131, 1314131, 1315131, 1316131, 1317131, 1318131, 1319131, 1320231, 1321231, 1322231, 1323231, 1324231, 1325231, 1326231, 1327231, 1328231, 1329231, 1330331, 1331331, 1332331, 1333331, 1334331, 1335331, 1336331, 1337331, 1338331, 1339331, 1340431, 1341431, 1342431, 1343431, 1344431, 1345431, 1346431, 1347431, 1348431, 1349431, 1350531, 1351531, 1352531, 1353531, 1354531, 1355531, 1356531, 1357531, 1358531, 1359531, 1360631, 1361631, 1362631, 1363631, 1364631, 1365631, 1366631, 1367631, 1368631, 1369631, 1370731, 1371731, 1372731, 1373731, 1374731, 1375731, 1376731, 1377731, 1378731, 1379731, 1380831, 1381831, 1382831, 1383831, 1384831, 1385831, 1386831, 1387831, 1388831, 1389831, 1390931, 1391931, 1392931, 1393931, 1394931, 1395931, 1396931, 1397931, 1398931, 1399931, 1400041, 1404041, 1417141, 1418141, 1419141, 1423241, 1453541, 1474741, 1475741, 1483841, 1493941, 1506051, 1520251, 1524251, 1525251, 1528251, 1576751, 1579751, 1590951, 1616161, 1624261, 1629261, 1631361, 1634361, 1640461, 1650561, 1661661, 1671761, 1676761, 1682861, 1685861, 1692961, 1718171, 1724271, 1732371, 1739371, 1743471, 1752571, 1753571, 1763671, 1764671, 1766671, 1791971, 1800081, 1801081, 1802081, 1803081, 1804081, 1805081, 1806081, 1807081, 1808081, 1809081, 1810181, 1811181, 1812181, 1813181, 1814181, 1815181, 1816181, 1817181, 1818181, 1819181, 1820281, 1821281, 1822281, 1823281, 1824281, 1825281, 1826281, 1827281, 1828281, 1829281, 1830381, 1831381, 1832381, 1833381, 1834381, 1835381, 1836381, 1837381, 1838381, 1839381, 1840481, 1841481, 1842481, 1843481, 1844481, 1845481, 1846481, 1847481, 1848481, 1849481, 1850581, 1851581, 1852581, 1853581, 1854581, 1855581, 1856581, 1857581, 1858581, 1859581, 1860681, 1861681, 1862681, 1863681, 1864681, 1865681, 1866681, 1867681, 1868681, 1869681, 1870781, 1871781, 1872781, 1873781, 1874781, 1875781, 1876781, 1877781, 1878781, 1879781, 1880881, 1881881, 1882881, 1883881, 1884881, 1885881, 1886881, 1887881, 1888881, 1889881, 1890981, 1891981, 1892981, 1893981, 1894981, 1895981, 1896981, 1897981, 1898981, 1899981, 1900091, 1901091, 1908091, 1936391, 1939391, 1952591, 1962691, 1965691, 1978791, 2020202, 2028202, 2030302, 2046402, 2068602, 2094902, 2104012, 2109012, 2112112, 2136312, 2147412, 2151512, 2153512, 2156512, 2164612, 2179712, 2199912, 2207022, 2208022, 2216122, 2223222, 2225222, 2236322, 2244422, 2253522, 2260622, 2261622, 2282822, 2288822, 2290922, 2311132, 2322232, 2326232, 2344432, 2352532, 2353532, 2368632, 2371732, 2380832, 2389832, 2392932, 2403042, 2431342, 2449442, 2470742, 2471742, 2472742, 2473742, 2474742, 2475742, 2476742, 2477742, 2478742, 2479742, 2498942, 2501052, 2512152, 2517152, 2519152, 2564652, 2569652, 2571752, 2582852, 2604062, 2616162, 2628262, 2646462, 2666662, 2679762, 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3

4554, 6776, 17471, 22322, 22722, 28182, 43434, 48084, 57675, 60606, 62526, 85558, 89298, 98389, 154451, 174471, 328823, 453354, 513315, 647746, 741147, 761167, 855558, 958859, 962269, 1006001, 1036301, 1151511, 1169611, 1177711

4

83338, 1142411, 1571751, 1587851, 2013102, 2081802, 2541452, 3278723, 3394933, 3433343, 3863683, 4684864, 5067605, 5516155, 5985895, 6148416, 6467646, 6771776, 6912196, 7043407, 7136317, 7304037, 7417147, 7605067, 7987897

5

3975793, 9799979, 39199193, 41299214, 65455456, 97455479, 132838231, 137141731, 143717341, 170919071, 180191081, 226101622, 241757142, 265525562, 311000113, 321151123, 327161723, 329818923, 336252633, 341888143, 344828443

6

2023202, 374929473, 458353854, 499202994, 749858947, 3461771643, 8094884908, 10282628201, 11564046511, 11721612711, 12427872421, 12548784521, 12968986921, 18649794681, 19775857791, 19953035991, 22113331122

 

Per ogni d da 2 a 9 i numeri super-d palindromi sono infiniti, perché da ogni numero super_d se ne può ricavare uno palindromo con la tecnica descritta sopra: si inverte l’ordine delle cifre di n, ottenendo un numero m, quindi m10k + n è super-d e palindromo per k abbastanza grande. In questo modo, per esempio si ottengono i numeri super-d palindromi per d da 7 a 9, rispettivamente 7990410000000000000000140997, 3245810000000000000185423 e 331645710000000000000000000000000000000000000000000000000000017546133, ma con ogni probabilità questi non sono i nimimi.

La stessa tecnica, scrivendo m con le cifre mancanti in n, permette di costruire infiniti numeri super-d pandigitali.

Bibliografia

  • Pickover, Clifford A.;  Keys to infinity, New York, Wiley, 1995.

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