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Sublimi (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “sublimi” i numeri naturali tali che sia il numero di divisori, che la somma dei divisori siano numeri perfetti.

 

Si conoscono solo due numeri sublimi: 12 (d(12) = 6 e σ(12) = 28) e 2126(261 – 1)(231 – 1)(219 – 1)(27 – 1)(25 – 1)(23 – 1) = 6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264. Kevin S. Brown, che scoprì quest’ultimo, dimostrò anche che tutti i numeri sublimi pari sono ottenibili con una regola semplice: bisogna trovare un primo di Mersenne Mn tale che n sia a sua volta un primo di Mersenne e n – 1 sia la somma di log2(n + 1) – 1 esponenti di primi di Mersenne distinti; in tal caso il prodotto di tali primi e di 2n – 1 è sublime. I due numeri sublimi noti corrispondono ai casi n = 3, (dove 3 – 1 = 2), e n = 127, dove 127 – 1 = 61 + 31 + 19 + 7 + 5 + 3.

Sono stati esclusi i successivi candidati sino a n = 2147483647: non è noto se M2147483647 sia primo, né se 2147483647 sia la somma di 30 esponenti di primi di Mersenne distinti, ed è improbabile che lo si possa sapere entro breve tempo.

 

Kevin Brown fornì anche argomenti piuttosto convincenti, che rendono estremamente improbabile l’esistenza di numeri sublimi dispari, ma nessuno è stato sinora in grado di dimostrarlo rigorosamente. In particolare, perché esista un numero sublime dispari, dovrebbero esistere due primi di Mersenne Mr e Ms e un primo p tali che pMr – 1 = (p – 1)Ms e che s – 1 sia la somma di esattamente r – 1 primi di Mersenne distinti.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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