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Rappresentazione dei numeri naturali come somma di primi e potenze di 2 (problema della)

Problemi  Teoria dei numeri 

La congettura di de Polignac (I) che ogni numero dispari possa essere rappresentato come somma di un primo e una potenza di 2 era stata confutata oltre un secolo prima che de Polignac la proponesse.

La confutazione pose però il problema di quanti addendi servano per una rappresentazione del genere.

  • Linnik dimostrò che ogni numero pari abbastanza grande si può rappresentare come somma di due primi e un numero limitato di potenze di 2; il numero di tali potenze è stato ridotto a 9 (J. Pintz e I.Z. Ruzsa, 2003) o addirittura a 7, supponendo vera l’ipotesi generalizzata di Riemann (Heath-Brown e Puchta, 2002); dato che 1 è pur sempre una potenza di 2, ne segue che ogni numero si può rappresentare come somma di due primi e 10 (o forse 8) potenze di 2.

  • Crocker dimostrò nel 1971 che esistono infiniti numeri che non si possono rappresentare come somma di due potenze di 2 e di un numero primo.

Restano quindi due problemi aperti.

  • E’ possibile rappresentare ogni numero naturale come somma di un primo dispari e un numero finito di potenze di 2?

  • Qual è il minimo numero di potenze di 2, se si usano 2 primi?

Per quanto riguarda la seconda domanda, sappiamo che è compreso tra 3 e 10, ma probabilmente tra 3 e 8.

 

Se si utilizzano potenze di primi dispari, il problema è più complicato; anche in questo caso non si sa se una sola potenza di un primo dispari sia sufficiente e quante potenze di 2 siano necessarie.

Cohen e Selfridge dimostrarono nel 1975 che esistono numeri che non possono essere rappresentati come |±pn ± 2m|, cioè come somma o differenza di potenze di un numero primo e di 2, quindi se basta una sola potenza di un numero primo dispari, servono almeno due potenze di 2.

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