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Stolarsky – Harborth (costante di)

Matematica combinatoria 

Per ogni intero m, il numero di coefficienti binomiali Coefficiente binomiale C(m, k) dispari è 2b(m), dove b(m) è il numero di 1 nella rappresentazione di k in base 2. Pertanto nelle prime n righe del triangolo di Pascal ci sono in tutto Numero totale di coefficienti binomiali dispari nelle prime n righe del triangolo di Pascal numeri dispari.

La funzione f2(n) si può calcolare la ricorrenza f2(0) = 0, f2(1) = 1, Ricorrenza per il calcolo della funzione f(n) per n pari e Ricorrenza per il calcolo della funzione f(n) per n dispari. In particolare quindi f2(2n) = 3n.

 

La tabella seguente mostra i valori della funzione f2(n), per n fino a 20.

n

f2(n)

1

1

2

3

3

5

4

9

5

11

6

15

7

19

8

27

9

29

10

33

11

37

12

45

13

49

14

57

15

65

16

81

17

83

18

87

19

91

20

99

 

Più in generale se invece dei coefficienti binomiali dispari, quindi non multipli di 2, si contano quelli non multipli di un primo p, nelle prime n righe, si ottiene una funzione fp(n), che si può approssimare con nαp, dove Formula per α(p). Per p = 2 abbiamo Formula per α(2).

 

Esaminando il comportamento di fp(n) / n^α(p), si osservano complesse oscillazioni tra due estremi.

K.B. Stolarsky dimostrò nel 1977 che per p = 2 il limite superiore è compreso tra 1 e 1.052 e che quello inferiore è compreso tra 0.72 e 9 / 7 * (3 / 4)^α e avanzò la congettura che quest’ultimo valore fosse il limite inferiore.

Nello stesso anno H. Harborth dimostrò che il limite superiore è 1, come supposto da Stolarsky e che quello inferiore vale circa λ2 = 0.8125565590, valore che venne in seguito chiamato “costante di Stolarsky – Harborth”.

Il valore approssimato della costante è stato ricavato per via numerica e non se ne conosce un’espressione in termini di costante note.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante di Stolarsky – Harborth.

 

E’ stato dimostrato che:

  • Limiti inferiore e superiore per fp(n) / n^α(p);

  • Limite cui tende λ(p);

  • Valore di λ(3).

Inoltre si suppone che:

  • Valore supposto per λ(5),

  • Valore supposto per λ(7),

  • Valore supposto per λ(11).

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