Per ogni intero m, il numero di coefficienti binomiali dispari è 2b(m), dove b(m) è il numero di 1 nella rappresentazione di k in base 2. Pertanto nelle prime n righe del triangolo di Tartaglia (v. coefficienti binomiali) ci sono in tutto
numeri dispari.
La funzione f2(n) si può calcolare la ricorrenza f2(0) = 0, f2(1) = 1, per n pari e
per n dispari. In particolare quindi f2(2n) = 3n.
La tabella seguente mostra i valori della funzione f2(n), per n fino a 20.
n |
f2(n) |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
5 |
4 |
9 |
5 |
11 |
6 |
15 |
7 |
19 |
8 |
27 |
9 |
29 |
10 |
33 |
11 |
37 |
12 |
45 |
13 |
49 |
14 |
57 |
15 |
65 |
16 |
81 |
17 |
83 |
18 |
87 |
19 |
91 |
20 |
99 |
Più in generale se invece dei coefficienti binomiali dispari, quindi non multipli di 2, si contano quelli non multipli di un primo p, nelle prime n righe, si ottiene una funzione fp(n), che si può approssimare con nαp, dove . Per p = 2 abbiamo
.
Esaminando il comportamento di , si osservano complesse oscillazioni tra due estremi.
K.B. Stolarsky dimostrò nel 1977 che per p = 2 il limite superiore è compreso tra 1 e 1.052 e che quello inferiore è compreso tra 0.72 e e avanzò la congettura che quest’ultimo valore fosse il limite inferiore.
Nello stesso anno H. Harborth dimostrò che il limite superiore è 1, come supposto da Stolarsky e che quello inferiore vale circa λ2 = 0.8125565590, valore che venne in seguito chiamato “costante di Stolarsky – Harborth”.
Il valore approssimato della costante è stato ricavato per via numerica e non se ne conosce un’espressione in termini di costante note.
Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante di Stolarsky – Harborth.
E’ stato dimostrato che:
-
;
-
;
-
.
Inoltre si suppone che:
-
,
-
,
-
.