Stolarsky – Harborth (costante di)

Matematica combinatoria 

Per ogni intero m, il numero di coefficienti binomiali  dispari è 2^b(m), dove b(m) è il numero di 1 nella rappresentazione di k in base 2. Pertanto nelle prime n righe del triangolo di Tartaglia (v. coefficienti binomiali) ci sono in tutto numeri dispari.

La funzione f₂(n) si può calcolare la ricorrenza f₂(0) = 0, f₂(1) = 1,  per n pari e  per n dispari. In particolare quindi f₂(2ⁿ) = 3ⁿ.

 

La tabella seguente mostra i valori della funzione f₂(n), per n fino a 20.

n	f2(n)
1	1
2	3
3	5
4	9
5	11
6	15
7	19
8	27
9	29
10	33
11	37
12	45
13	49
14	57
15	65
16	81
17	83
18	87
19	91
20	99

 

Più in generale se invece dei coefficienti binomiali dispari, quindi non multipli di 2, si contano quelli non multipli di un primo p, nelle prime n righe, si ottiene una funzione f_p(n), che si può approssimare con n^α_p, dove . Per p = 2 abbiamo .

 

Esaminando il comportamento di , si osservano complesse oscillazioni tra due estremi.

K.B. Stolarsky dimostrò nel 1977 che per p = 2 il limite superiore è compreso tra 1 e 1.052 e che quello inferiore è compreso tra 0.72 e  e avanzò la congettura che quest’ultimo valore fosse il limite inferiore.

Nello stesso anno H. Harborth dimostrò che il limite superiore è 1, come supposto da Stolarsky e che quello inferiore vale circa λ₂ = 0.8125565590, valore che venne in seguito chiamato “costante di Stolarsky – Harborth”.

Il valore approssimato della costante è stato ricavato per via numerica e non se ne conosce un’espressione in termini di costante note.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante di Stolarsky – Harborth.

 

E’ stato dimostrato che:

• ;

• ;

• .

Inoltre si suppone che:

• ,

• ,

• .

Tabelle numeriche

I valori della funzione f₂(n), per n fino a 1000.

Vedi anche

Coefficienti binomiali.

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