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Estremamente abbondanti (numeri)

Teoria dei numeri 

Nel 2014 Sadegh Nazardonyavi e Semyon Yakubovich definirono “estremamente abbondanti” gli interi maggiori o uguali a 10080 per i quali la funzione σ(n) / (n * log(log(n))) raggiunge un nuovo massimo, ossia i numeri n tali che σ(n) / (n * log(log(n))) > σ(kn) / (k * log(log(k))), per 10080 ≤ k < n.

 

Tutti i numeri estremamente abbondanti sono superabbondanti.

 

Nazardonyavi e Yakubovich dimostrarono che:

  • vi sono infiniti numeri colossalmente abbondanti che non sono estremamente abbondanti;

  • se n è estremamente abbondante, n1 e n2 sono colossalmente abbondanti e n1 < n < n2, n2 è colossalmente abbondante;

  • se n è estremamente abbondante, logn > p, dove p è il massimo fattore primo che divide n.

 

L’importanza dei numeri estremamente abbondanti sta nei loro legami con l’ipotesi di Riemann; in particolare Nazardonyavi e Yakubovich dimostrarono che:

  • se esistono controesempi alla disuguaglianza di Robin (v. funzione σ), ossia interi n maggiori di 5040 e tali che σ(n) ≥ eγnloglogn, il minimo di essi è estremamente abbondante;

  • l’ipotesi di Riemann è vera se e solo se esistono infiniti numeri estremamente abbondanti;

  • se l’ipotesi di Riemann è vera, esistono infiniti numeri colossalmente abbondanti che sono anche estremamente abbondanti;

  • se l’ipotesi di Riemann è vera, vi sono infiniti numeri estremamente abbondanti che non sono colossalmente abbondanti.

 

I primi 20 numeri estremamente abbondanti sono: 10080, 8201519488959040182625924708238885435575055666675808000, 1041592975097798103193492437946338450318032069667827616000, 136448679737811551518347509370970336991662201126485417696000, 18693469124080182558013608783822936167857721554328502224352000, 2598392208247145375563891620951388127332223296051661809184928000, 5196784416494290751127783241902776254664446592103323618369856000, 58461226293352523804811997579785281476847691937866339044851695072000, 116922452586705047609623995159570562953695383875732678089703390144000, 818457168106935333267367966116993940675867687130128746627923731008000, 18356825056112692474710967240052578383730175268490030460083432252608000, 64248887696394423661488385340184024343055613439715106610292012884128000, 128497775392788847322976770680368048686111226879430213220584025768256000, 20945137389024582113645213620899991935836129981347124754955196200225728000, 356067335613417895931968631555299862909214209682901120834238335403837376000, 3497837943967105212978750674690298653284633706884969834077517765437696576000, 59463245047440788620638761469735077105838773017044487179317802012440841792000, 10287141393207256431370505734264168339310107731948696282021979748152265630016000, 1841398309384098901215320526433286132736509284018816634481934374919255547772864000, 333293093998521901119973015284424790025308180407405810841230121860385254146888384000 (Sadegh Nazardonyavi The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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