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Catene (numeri di)

Matematica combinatoria  Vari 

Le “catene” sono configurazioni di anelli di corda simili ai nodi, ma formati da più anelli separati: i nodi sono casi particolari di catene, formate da un solo anello.

Due catene si considerano distinte se non è possibile deformare l’una nell’altra senza tagliare anelli.

 

Nell’analisi si utilizzano gli stessi invarianti e gli stessi polinomi utilizzati per i nodi.

 

Come per i nodi, è possibile “sommare” catene e scomporre catene in “catene prime” e come per i nodi la scomposizione di una catena in catene prime è unica.

 

Come per i nodi, una catena si dice “alternante” se seguendo ogni anello si incontrano alternativamente passaggi sopra e sotto altre parti della catena. La più semplice catena non alternante ha 6 incroci, si chiama 6(3)^3 ed è mostrata nella figura seguente.

 

Catena 6(3)^3

 

 

La tabella seguente mostra le catene prime con fino a 6 incroci.

Catena

Classificazione

Numero di incroci

Numero di anelli

Catena 0

0

0

1

Catena 2(1)^2

2(1)^2

2

2

Catena 3(1)

31

3

1

Catena 4(1)

41

4

1

Catena 4(1)^2

4(1)^2

4

2

Catena 5(1)

51

5

1

Catena 5(2)

52

5

1

Catena 5(1)^2

5(1)^2

5

2

Catena 6(1)

61

6

1

Catena 6(2)

62

6

1

Catena 6(1)^2

6(1)^2

6

2

Catena 6(2)^2

6(2)^2

6

2

Catena 6(3)^2

6(3)^2

6

2

Catena 6(1)^3

6(1)^3

6

2

Catena 6(2)^3

6(2)^3

6

2

Catena 6(3)^3

6(3)^3

6

2

 

Come curiosità segnalo che è stato dimostrato che non è possibile costruire gli anelli borromei, così chiamati perché raffigurati nello stemma della famiglia Borromeo, corrispondenti alla catena 6(2)^3 dell’elenco precedente, con anelli toroidali di spessore finito, sia dello stesso diametro, che di diametri differenti (Michael Friedman e Richard Skora, 1987). Gli anelli, in pratica, devono essere leggermente deformati in modo che almeno uno non sia un toro perfetto; è però possibile costruirli con anelli ellittici.

Con anelli a forma di toro è invece costruibile la catena 6(3)^3; la differenza è che in quest’ultima gli anelli sono intrecciati a coppie, mentre se uno degli anelli borromei viene rimosso, i due restanti si separano.

 

La tabella seguente mostra i numeri di catene con n incroci per i primi valori di n (Steven Finch e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Catene prime

Catene prime alternanti

0

1

0

1

0

0

2

1

1

3

1

1

4

2

2

5

3

3

6

9

8

7

16

14

8

50

39

9

132

96

10

452

297

11

1559

915

12

 

3308

13

 

12417

14

 

51347

15

 

222595

16

 

1016975

17

 

4799520

18

 

23301779

19

 

115405815

 

La tabella seguente mostra i numeri di catene prime con n incroci ed esattamente k anelli di corda, per i primi valori di n e k fino a 4 (Stuart Rankin, Ortho Flint, John Schermann, Steven Finch ed Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n \ k

1

2

3

4

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

0

0

0

4

1

1

0

0

5

2

1

0

0

6

3

3

3

0

7

7

8

1

0

8

21

16

10

3

9

49

61

21

1

10

165

185

74

15

11

552

638

329

39

12

2176

 

 

 

13

9988

 

 

 

14

46972

     

15

253293

     

16

1388705

     

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di catene prime alternanti con n incroci ed esattamente k anelli di corda, per i primi valori di n e k fino a 11 (Stuart Rankin, Ortho Flint e Bruce Fontane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n \ k

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

2

0

1

0

0

0

0

0

3

1

0

0

0

0

0

0

4

1

1

0

0

0

0

0

5

2

1

0

0

0

0

0

6

3

3

2

0

0

0

0

7

7

6

1

0

0

0

0

8

18

14

6

1

0

0

0

9

41

42

12

1

0

0

0

10

123

121

43

9

1

0

0

11

367

384

146

17

1

0

0

12

1288

1408

500

100

11

1

0

13

4878

5100

2074

341

23

1

0

14

19536

21854

8206

1556

181

13

1

15

85263

92234

37222

7193

653

29

1

16

379799

427079

172678

33216

3885

301

16

17

1769979

2005800

829904

173549

19122

1129

36

18

8400285

9716848

4194015

876173

105539

8428

471

19

40619385

48184018

21207695

4749914

599433

43513

1813

20

199631989

241210386

110915684

25644802

3368608

282898

16613

21

990623857

1228973463

581200584

141228387

19967911

1707147

89225

22

4976016485

6301831944

3091592835

786648328

115822290

10710211

673344

23

25182878921

32663182523

16547260993

4388853201

689913117

67959962

4265763

24

 

40495653230

 

 

 

 

 

n \ k

8

9

10

11

16

1

0

0

0

17

1

0

0

0

18

19

1

0

0

19

43

1

0

0

20

708

22

1

0

21

2770

51

1

0

22

30671

1016

25

1

23

169480

4054

59

1

 

Non contando separatamente le immagini speculari, sappiamo che il numero di catene prime alternanti con n incroci e qualsiasi numero di componenti C(n) tende a Limite asintotico cui tende il numero di catene con n incroci, dove Formula per αFormula per γ e Formula per λ (S. Kunz-Jacques e G. Schaeffer, 2001).

 

Per quanto riguarda il numero di catene prime alternanti e non c(n) sappiamo che Limiti asintotici inferiore e superiore per il numero di catene con n incroci (C. Sundberg e M.B. Thistlethwaite, 1998).

 

Come per i nodi, per stabilire se due catene siano equivalenti o meno si ricorre per prima cosa al calcolo di alcuni invarianti relativamente semplici.

Oltre a quelli dei nodi, le catene ne hanno un altro: il numero di concatenazioni, definito da Gauss, che nel 1833 sviluppò un metodo per determinarlo; è simile al numero di contorsioni di un nodo (v. numeri di nodi).

Per calcolare il numero di concatenazioni L(C) di una catena C, si definisce un senso di percorrenza di ogni anello, poi si attribuisce un valore 1 o –1 a ogni incrocio tra due anelli diversi, a seconda che il tratto che passa sopra provenga da sinistra o da destra rispetto all’altro, considerando il senso di percorrenza di entrambi, come mostra la figura seguente.

 

Schema per il calcolo del numero di concatenamenti

 

 

Una volta attribuiti i valori, il numero di concatenazioni è definito come la metà della loro somma. Se si inverte il senso di percorrenza di un anello, si cambia il segno di L(C).

Il numero di concatenazioni è un invariante della catena, ossia non dipende dalla sua rappresentazione, tuttavia non permette di distinguere le catene, perché catene differenti possono avere lo stesso numero di concatenazioni. Per esempio, il numero di concatenazioni della catena 5(1)^2  è zero, come mostra la figura seguente.

 

Calcolo del numero di concatenamenti della catena 5(1)^2

 

La somma dei 4 valori divisa per due dà zero, ma lo stesso risultato si ottiene per le “catene” formate da anelli separati, tuttavia la catena mostrata non è equivalente a due anelli separati.

Vedi anche

Numeri di nodi.

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