Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Nel 1972 S.K. Zaremba propose la congettura che per ogni intero m maggiore di 1, esista una frazione a / m con 0 < a < m che ha uno sviluppo in frazione continua semplice con termini a0, a1, a2an non superiori a una costante A. Lo stesso Zaremba suppose inoltre che A sia 5 e spesso la congettura viene riportata in questa forma.

Si suppone che il valore possa essere ridotto a 3, se m è abbastanza grande.

 

Borosh verificò la congettura per gli interi fino a 10000, trovando che A è 5 solo per m = 54 e m = 150 e 4 solo per m = 6 e Donald Ervin Knuth estese la verifica fino a 3200000 con A = 5, senza trovare eccezioni.

 

Nel 1986, Niederreiter dimostrò che se m è una potenza di 2, 3 o 5, esiste una frazione del genere con numeratore primo rispetto a m, e A ≤ 3, mentre per le potenze di 5 la stessa affermazione vale con A ≤ 4.

 

Nel 2002 M. Yodphotong e V. Laohakosol dimostrarono che A ≤ 5 per m potenza di 6.

 

Nel 2005 Takao Komatsu dimostrò che A ≤ 3 per m potenza di 7 con esponente della forma c2n, con c dispari e minore di 12.

 

Jean Bourgain e Alex Kontorovich dimostrarono nel 2013 che per un sottoinsieme degli interi positivi di densità asintotica 1 la congettura vale, con A non superiore a una costante sconosciuta.

Shinnyih Huang dimostrò nel 2015 che esiste un insieme del genere per A ≤ 5. Questo non basta ancora a escludere l’esistenza di infinite eccezioni, ma è un passo importante verso la dimostrazione della congettura.

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