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Reciprocamente descrittivi (numeri) (I)

Rappresentazione dei numeri 

Si possono definire “numeri reciprocamente descrittivi” o “reciprocamente biografici” i numeri naturali che formano coppie nelle quali ciascuno “descrive” l’altro, nel senso dei numeri autodescrittivi (I). Vale a dire che, letti da sinistra a destra indicano la sequenza delle cifre che li compongono, in qualsiasi ordine.

Per esempio, nella minima coppia, 103142132415 e 104122232415, il primo descrive il secondo come formato da uno zero, tre 1, quattro 2, un 3, due 4 e un 5, il secondo descrive il primo come formato da uno zero, quattro 1, due 2, due 3, due 4 e un 5.

 

Due sequenze di cifre reciprocamente descrittive restano tali per ogni permutazione delle coppie di cifre che le compongono (per esempio, da 103142132415 si ottengono 423113241510, 131024153142 ecc.); per questo si usa scriverle in ordine crescente delle cifre menzionate (prima il numero di 0, poi di 1, poi di 2 e così via). Due sequenze di cifre differenti solo per una permutazione delle coppie, come 10123133 e 10311233, non si considerano reciprocamente descrittive, ma piuttosto autodescrittive (I).

 

Come per i numeri autodescrittivi (I), una coppia di sequenze di cifre reciprocamente descrittive in una base resta tale in tutte le basi superiori, anche se rappresenta numeri diversi.

 

Le coppie sono formate da numeri di almeno 12 cifre e non esistono numeri reciprocamente descrittivi nelle basi inferiori a 6.

 

Dato che sono formati al massimo da un numero di cifre uguale al doppio della base, sono in numero finito in ogni base.

 

Le uniche coppie note, prescindendo dalle permutazioni di coppie di cifre, sono della forma 314213241a1b e 412223241a1b, con a uguale a 0 o maggiore di 4 e b maggiore di a, in tutte le basi superiori a b. Per esempio, 103142131415 e 104122232415 in base maggiore di 5 o 314213141516 e 4122232411516, in base maggiore di 6.

 

Se si inizia con un numero qualsiasi e lo si “descrive” come spiegato sopra, iterando il procedimento si finisce sempre in un numero autodescrittivo (I) o in un ciclo formato da una coppia autodescrittiva.

Per esempio, iniziando con 12345, abbiamo un 1, un 2, un 3, un 4 e un 5, quindi 1112131415. Ora abbiamo in tutto sei 1, un 2, un 3, un 4, e un 5, quindi 6112131415. Proseguendo otteniamo 511213141516, 6112131425, 412213141516, 512213241516, 413213142516, 412223241516, 314213241516, 412223241516 e la sequenza si ripete.

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